与えられた積分 $\int x\sqrt{1-x} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x\sqrt{1-x} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = 1-x$ と置くと、$x = 1-u$ であり、$du = -dx$ となります。したがって、$dx = -du$ です。

$\int x\sqrt{1-x} dx = \int (1-u)\sqrt{u} (-du) = - \int (1-u)u^{\frac{1}{2}} du = - \int (u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}}) du$

次に、積分を計算します。

$- \int (u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}}) du = - (\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}) + C = - (\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}) + C$

$u$ を $1-x$ に戻します。

$- (\frac{2}{3}(1-x)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5}(1-x)^{\frac{5}{2}}) + C = -\frac{2}{3}(1-x)^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5}(1-x)^{\frac{5}{2}} + C$

$(1-x)^{\frac{3}{2}}$ をくくりだします。

$(1-x)^{\frac{3}{2}} (-\frac{2}{3} + \frac{2}{5}(1-x)) + C = (1-x)^{\frac{3}{2}} (-\frac{2}{3} + \frac{2}{5} - \frac{2}{5}x) + C = (1-x)^{\frac{3}{2}} (-\frac{10}{15} + \frac{6}{15} - \frac{2}{5}x) + C = (1-x)^{\frac{3}{2}} (-\frac{4}{15} - \frac{2}{5}x) + C$

共通因子 $-\frac{2}{15}$ をくくりだします。

$-\frac{2}{15}(1-x)^{\frac{3}{2}}(2+3x) + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{2}{15}(1-x)^{\frac{3}{2}}(3x+2) + C$