与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to \infty} x \left( \arctan(x) - \frac{\pi}{2} \right) $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{x \to \infty} x \left( \arctan(x) - \frac{\pi}{2} \right)$$

2. 解き方の手順

まず、$y = 1/x$ と置換します。すると、$x \to \infty$ のとき、$y \to 0$ となります。与えられた極限は次のように書き換えられます。

$$\lim_{y \to 0} \frac{1}{y} \left( \arctan\left(\frac{1}{y}\right) - \frac{\pi}{2} \right)$$

ここで、$\arctan(x) + \arctan(1/x) = \pi/2$ という恒等式を使います。この恒等式から $\arctan(1/y) = \pi/2 - \arctan(y)$ が得られます。したがって、極限は

$$\lim_{y \to 0} \frac{1}{y} \left( \frac{\pi}{2} - \arctan(y) - \frac{\pi}{2} \right) = \lim_{y \to 0} \frac{-\arctan(y)}{y}$$

$\arctan(y)$ の $y=0$ におけるテイラー展開を考えると、$\arctan(y) = y - y^3/3 + y^5/5 - \cdots$ となります。したがって、

$$\lim_{y \to 0} \frac{-\arctan(y)}{y} = \lim_{y \to 0} \frac{-(y - y^3/3 + y^5/5 - \cdots)}{y} = \lim_{y \to 0} \left( -1 + \frac{y^2}{3} - \frac{y^4}{5} + \cdots \right) = -1$$

または、ロピタルの定理を使うこともできます。

$$\lim_{y \to 0} \frac{-\arctan(y)}{y}$$

この極限は不定形 $\frac{0}{0}$ なので、ロピタルの定理を適用すると

$$\lim_{y \to 0} \frac{-\frac{1}{1+y^2}}{1} = \lim_{y \to 0} \frac{-1}{1+y^2} = \frac{-1}{1+0} = -1$$

3. 最終的な答え

-1