関数 $y = \log x$ のグラフを $C$ とするとき、$C$ に接し、かつ原点を通る直線 $l$ の方程式を求める問題です。ただし、$l$ の方程式は $y = \frac{\boxed{1}}{e}x$ の形で与えられています。

1. 問題の内容

関数 $y = \log x$ のグラフを $C$ とするとき、$C$ に接し、かつ原点を通る直線 $l$ の方程式を求める問題です。ただし、$l$ の方程式は $y = \frac{\boxed{1}}{e}x$ の形で与えられています。

2. 解き方の手順

* 直線 $l$ の方程式を $y = kx$ とおく（原点を通るので）。

* 曲線 $C$ と直線 $l$ が接すると仮定し、接点の $x$ 座標を $t$ とおく。このとき、接点の座標は $(t, \log t)$ である。

* 曲線 $y = \log x$ の $x=t$ における微分係数（接線の傾き）を求める。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$ より、$x=t$ での微分係数は $\frac{1}{t}$ である。

* 直線 $y = kx$ は点 $(t, \log t)$ において曲線 $y = \log x$ に接するので、$k = \frac{1}{t}$ が成り立つ。

* 接点 $(t, \log t)$ は直線 $y = kx$ 上にあるので、$\log t = kt$ が成り立つ。

* $k = \frac{1}{t}$ を $\log t = kt$ に代入すると、$\log t = \frac{1}{t} \cdot t = 1$ となる。

* $\log t = 1$ を解くと、$t = e$ となる。

* $k = \frac{1}{t}$ に $t = e$ を代入すると、$k = \frac{1}{e}$ となる。

* したがって、直線 $l$ の方程式は $y = \frac{1}{e}x$ である。

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{e}x$