不等式 $0 \le z \le e^{-x^2-y^2}$ , $x^2+y^2 \le a^2$ , $y \ge 0$ で表される空間の図形の体積を、極座標を用いて求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $0 \le z \le e^{-x^2-y^2}$ , $x^2+y^2 \le a^2$ , $y \ge 0$ で表される空間の図形の体積を、極座標を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、極座標変換を行います。

$x = r\cos\theta$

$y = r\sin\theta$

とおくと、

$x^2+y^2 = r^2$

$dxdy = rdrd\theta$

となります。

条件より、$x^2+y^2 \le a^2$ なので、$r^2 \le a^2$ より $0 \le r \le a$。

また、$y \ge 0$ なので、$r\sin\theta \ge 0$ となり、$\sin\theta \ge 0$ より $0 \le \theta \le \pi$。

また、$0 \le z \le e^{-x^2-y^2}$ より、$0 \le z \le e^{-r^2}$。

求める体積$V$は、

$$V = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{a} \int_{0}^{e^{-r^2}} r dz dr d\theta$$

となります。

まず、$z$について積分すると、

$$V = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{a} r \left[ z \right]_{0}^{e^{-r^2}} dr d\theta = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{a} r e^{-r^2} dr d\theta$$

次に、$r$について積分するために、$u = r^2$ とおくと、$du = 2rdr$ より、$rdr = \frac{1}{2} du$。

$r: 0 \to a$ のとき、$u: 0 \to a^2$。

$$V = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{a^2} \frac{1}{2} e^{-u} du d\theta = \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2} \left[ -e^{-u} \right]_{0}^{a^2} d\theta = \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2} \left( -e^{-a^2} - (-e^0) \right) d\theta$$

$$V = \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2} (1 - e^{-a^2}) d\theta = \frac{1}{2} (1 - e^{-a^2}) \int_{0}^{\pi} d\theta = \frac{1}{2} (1 - e^{-a^2}) \left[ \theta \right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2} (1 - e^{-a^2}) (\pi - 0)$$

$$V = \frac{\pi}{2} (1 - e^{-a^2})$$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}(1 - e^{-a^2})$