曲線 $y = x^2 - 1$ 上の点Pと直線 $y = x - 3$ 上の点Qとの距離が最小となるときの点Qの座標と、そのときの距離を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 - 1$ 上の点Pと直線 $y = x - 3$ 上の点Qとの距離が最小となるときの点Qの座標と、そのときの距離を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、点Pの座標を $(t, t^2 - 1)$ とおきます。直線 $y = x - 3$ と点Pとの距離が最小となるのは、直線 $y = x - 3$ と点Pにおける曲線 $y = x^2 - 1$ の接線が平行になるときです。

曲線の微分を計算します。

$\frac{dy}{dx} = 2x$

$x=t$ における接線の傾きは、$2t$ です。

この接線と直線 $y = x - 3$ が平行であるので、傾きが等しいことから、

$2t = 1$

$t = \frac{1}{2}$

したがって、点Pの座標は $(\frac{1}{2}, (\frac{1}{2})^2 - 1) = (\frac{1}{2}, -\frac{3}{4})$ です。

点Pから直線 $y = x - 3$ までの距離を求めることを考えます。点Qは、点Pから直線 $y = x - 3$, つまり $x - y - 3 = 0$ へ下ろした垂線の足になります。

点Qを$(x,y)$とすると、

PQベクトル$(\frac{1}{2}-x, -\frac{3}{4}-y)$は直線$y=x-3$の方向ベクトル$(1,1)$と直交します。

よって、

$(\frac{1}{2}-x) + (-\frac{3}{4}-y) = 0$

$x+y = -\frac{1}{4}$

$y=x-3$を代入して、

$x+x-3 = -\frac{1}{4}$

$2x = 3 - \frac{1}{4} = \frac{11}{4}$

$x = \frac{11}{8}$

$y = x-3 = \frac{11}{8} - 3 = \frac{11}{8} - \frac{24}{8} = -\frac{13}{8}$

したがって、点Qの座標は$(\frac{11}{8}, -\frac{13}{8})$です。

点P $(\frac{1}{2}, -\frac{3}{4})$ と点Q $(\frac{11}{8}, -\frac{13}{8})$ の距離は、

$\sqrt{(\frac{11}{8} - \frac{1}{2})^2 + (-\frac{13}{8} + \frac{3}{4})^2} = \sqrt{(\frac{11}{8} - \frac{4}{8})^2 + (-\frac{13}{8} + \frac{6}{8})^2} = \sqrt{(\frac{7}{8})^2 + (-\frac{7}{8})^2} = \sqrt{\frac{49}{64} + \frac{49}{64}} = \sqrt{\frac{98}{64}} = \sqrt{\frac{49}{32}} = \frac{7}{4\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{8}$

3. 最終的な答え

点Qの座標は $(\frac{11}{8}, -\frac{13}{8})$

距離は $\frac{7\sqrt{2}}{8}$