与えられた積分を計算します。積分は以下の通りです。 $\int_{0}^{e} \pi (\frac{1}{e} x^2) dx - \int_{1}^{e} \pi (\log x)^2 dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は以下の通りです。

$\int_{0}^{e} \pi (\frac{1}{e} x^2) dx - \int_{1}^{e} \pi (\log x)^2 dx$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの積分を個別に計算します。

一つ目の積分:

$\int_{0}^{e} \pi (\frac{1}{e} x^2) dx = \frac{\pi}{e} \int_{0}^{e} x^2 dx = \frac{\pi}{e} [\frac{1}{3} x^3]_{0}^{e} = \frac{\pi}{e} (\frac{1}{3} e^3 - 0) = \frac{\pi e^2}{3}$

二つ目の積分:

$\int_{1}^{e} \pi (\log x)^2 dx = \pi \int_{1}^{e} (\log x)^2 dx$

$\int (\log x)^2 dx$ を部分積分で計算します。

$u = (\log x)^2$, $dv = dx$ とすると、$du = 2(\log x) \frac{1}{x} dx$, $v = x$

$\int (\log x)^2 dx = x (\log x)^2 - \int x \cdot 2 (\log x) \frac{1}{x} dx = x (\log x)^2 - 2 \int \log x dx$

$\int \log x dx$ を部分積分で計算します。

$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$

$\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int dx = x \log x - x + C$

よって、

$\int (\log x)^2 dx = x (\log x)^2 - 2 (x \log x - x) + C = x (\log x)^2 - 2x \log x + 2x + C$

したがって、

$\pi \int_{1}^{e} (\log x)^2 dx = \pi [x (\log x)^2 - 2x \log x + 2x]_{1}^{e} = \pi [(e (\log e)^2 - 2e \log e + 2e) - (1 (\log 1)^2 - 2(1) \log 1 + 2(1))] = \pi [(e - 2e + 2e) - (0 - 0 + 2)] = \pi (e - 2)$

元の積分:

$\int_{0}^{e} \pi (\frac{1}{e} x^2) dx - \int_{1}^{e} \pi (\log x)^2 dx = \frac{\pi e^2}{3} - \pi (e - 2) = \frac{\pi e^2}{3} - \pi e + 2\pi = \pi (\frac{e^2}{3} - e + 2)$

3. 最終的な答え

$\pi (\frac{e^2}{3} - e + 2)$