自然数 $n$ に対して、$S_n = \int_1^e (\log x)^n dx$ とする。 (1) $S_1$ を求めよ。 (2) $S_{n+1}$ を $S_n$ と $n$ の式で表せ。 (3) $\lim_{n \to \infty} S_n$ を求めよ。 (4) $\lim_{n \to \infty} nS_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$S_n = \int_1^e (\log x)^n dx$ とする。

(1) $S_1$ を求めよ。

(2) $S_{n+1}$ を $S_n$ と $n$ の式で表せ。

(3) $\lim_{n \to \infty} S_n$ を求めよ。

(4) $\lim_{n \to \infty} nS_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $S_1$ を求める。

$S_1 = \int_1^e \log x dx$ を計算する。

部分積分を使う。$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ である。

よって、

$S_1 = \int_1^e \log x dx = [x \log x]_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{1}{x} dx = [x \log x]_1^e - \int_1^e dx = [x \log x - x]_1^e$

$= (e \log e - e) - (1 \log 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 1$

(2) $S_{n+1}$ を $S_n$ と $n$ の式で表す。

$S_{n+1} = \int_1^e (\log x)^{n+1} dx$ を部分積分で計算する。

$u = (\log x)^{n+1}$, $dv = dx$ とすると、$du = (n+1) (\log x)^n \frac{1}{x} dx$, $v = x$ である。

よって、

$S_{n+1} = \int_1^e (\log x)^{n+1} dx = [x (\log x)^{n+1}]_1^e - \int_1^e x \cdot (n+1) (\log x)^n \frac{1}{x} dx$

$= [x (\log x)^{n+1}]_1^e - (n+1) \int_1^e (\log x)^n dx = [x (\log x)^{n+1}]_1^e - (n+1) S_n$

$= (e (\log e)^{n+1} - 1 (\log 1)^{n+1}) - (n+1) S_n = e \cdot 1^{n+1} - 1 \cdot 0^{n+1} - (n+1) S_n$

$= e - (n+1) S_n$

したがって、$S_{n+1} = e - (n+1) S_n$

(3) $\lim_{n \to \infty} S_n$ を求める。

漸化式 $S_{n+1} = e - (n+1) S_n$ より、$S_n = \frac{e - S_{n+1}}{n+1}$.

もし $\lim_{n \to \infty} S_n = \alpha$ ($\alpha$ は有限の値)が存在すると仮定すると、$\lim_{n \to \infty} S_{n+1} = \alpha$ であり、

$\alpha = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{e - S_{n+1}}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{e - \alpha}{n+1} = 0$

したがって、$\lim_{n \to \infty} S_n = 0$

(4) $\lim_{n \to \infty} nS_n$ を求める。

$S_{n+1} = e - (n+1)S_n$ より、$(n+1)S_n = e - S_{n+1}$

$nS_n = e - S_{n+1} - S_n$

$\lim_{n \to \infty} nS_n = \lim_{n \to \infty} (e - S_{n+1} - S_n) = e - 0 - 0 = e$

3. 最終的な答え

(1) $S_1 = 1$

(2) $S_{n+1} = e - (n+1)S_n$

(3) $\lim_{n \to \infty} S_n = 0$

(4) $\lim_{n \to \infty} nS_n = e$