$\frac{1}{\sin x}$ を微分する問題です。

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sin x}$ を微分する問題です。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{\sin x}$ を $(\sin x)^{-1}$ と書き換えます。

合成関数の微分を用いて計算します。

$y = u^{-1}$, $u = \sin x$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ となります。

$\frac{dy}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$

$\frac{du}{dx} = \cos x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{u^2} \cdot \cos x = -\frac{1}{(\sin x)^2} \cdot \cos x = -\frac{\cos x}{\sin^2 x}$

これは、$-\frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\sin x} = -\cot x \cdot \csc x$ とも表せます。

3. 最終的な答え

$-\frac{\cos x}{\sin^2 x}$

または

$-\cot x \csc x$