問題は以下の2つです。 (1) 平面 $z=2x$ と $xy$ 平面の間で、$xy$ 平面上の半円 $x^2 + y^2 \le a^2$, $x \ge 0$ の上にある部分の体積を求める。 (2) 曲面 $z=xy$ と $xy$ 平面の間で、$xy$ 平面上の範囲 $D: x+y \le 1$, $x \ge 0$, $y \ge 0$ の上にある部分の体積を求める。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(1) 平面 $z=2x$ と $xy$ 平面の間で、$xy$ 平面上の半円 $x^2 + y^2 \le a^2$, $x \ge 0$ の上にある部分の体積を求める。

(2) 曲面 $z=xy$ と $xy$ 平面の間で、$xy$ 平面上の範囲 $D: x+y \le 1$, $x \ge 0$, $y \ge 0$ の上にある部分の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

体積 $V$ は二重積分で計算できます。

$V = \iint_D 2x \, dx \, dy$

ここで、$D$ は半円 $x^2 + y^2 \le a^2$, $x \ge 0$ です。

極座標に変換します。$x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$, $dx \, dy = r \, dr \, d\theta$。

$x \ge 0$ より、$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ です。また、$0 \le r \le a$ です。

$V = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_0^a 2r \cos \theta \cdot r \, dr \, d\theta = 2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \, d\theta \int_0^a r^2 \, dr$

$V = 2 [\sin \theta]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^a = 2(1 - (-1)) \cdot \frac{a^3}{3} = 4 \cdot \frac{a^3}{3} = \frac{4a^3}{3}$

(2)

体積 $V$ は二重積分で計算できます。

$V = \iint_D xy \, dx \, dy$

ここで、$D$ は $x+y \le 1$, $x \ge 0$, $y \ge 0$ で囲まれた領域です。

積分範囲は、$0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1-x$ です。

$V = \int_0^1 \int_0^{1-x} xy \, dy \, dx = \int_0^1 x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^{1-x} \, dx = \int_0^1 \frac{x(1-x)^2}{2} \, dx$

$V = \frac{1}{2} \int_0^1 x(1 - 2x + x^2) \, dx = \frac{1}{2} \int_0^1 (x - 2x^2 + x^3) \, dx$

$V = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{6 - 8 + 3}{12} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{24}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4a^3}{3}$

(2) $\frac{1}{24}$