以下の4つの関数について、指定された区間における最大値と最小値を求めます。 (1) $y = x^3 - 3x^2 - 9x$, 区間: $-2 \le x \le 4$ (2) $y = x^5 - 5x^4 + 5x^3$, 区間: $-1 \le x \le 3$ (3) $y = \sin x + \cos x$, 区間: $0 \le x \le \pi$ (4) $y = x^2 - 4\log x$, 区間: $1 \le x \le e$

はい、承知いたしました。与えられた関数の指定された区間における最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

以下の4つの関数について、指定された区間における最大値と最小値を求めます。

(1) $y = x^3 - 3x^2 - 9x$, 区間: $-2 \le x \le 4$

(2) $y = x^5 - 5x^4 + 5x^3$, 区間: $-1 \le x \le 3$

(3) $y = \sin x + \cos x$, 区間: $0 \le x \le \pi$

(4) $y = x^2 - 4\log x$, 区間: $1 \le x \le e$

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で最大値と最小値を求めます。

(a) 導関数を計算し、極値を求めます。

(b) 区間の端点での値を計算します。

(c) 極値と端点での値を比較し、最大値と最小値を決定します。

(1) $y = x^3 - 3x^2 - 9x$

$y' = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1)$

$y' = 0$ となるのは $x = 3, -1$。どちらも区間 $-2 \le x \le 4$ に含まれます。

$x = -2$ のとき $y = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) = -8 - 12 + 18 = -2$

$x = -1$ のとき $y = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) = -1 - 3 + 9 = 5$

$x = 3$ のとき $y = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) = 27 - 27 - 27 = -27$

$x = 4$ のとき $y = (4)^3 - 3(4)^2 - 9(4) = 64 - 48 - 36 = -20$

したがって、最大値は5 ($x=-1$のとき), 最小値は-27 ($x=3$のとき)。

(2) $y = x^5 - 5x^4 + 5x^3$

$y' = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2 = 5x^2(x^2 - 4x + 3) = 5x^2(x-1)(x-3)$

$y' = 0$ となるのは $x = 0, 1, 3$。これらはすべて区間 $-1 \le x \le 3$ に含まれます。

$x = -1$ のとき $y = (-1)^5 - 5(-1)^4 + 5(-1)^3 = -1 - 5 - 5 = -11$

$x = 0$ のとき $y = 0^5 - 5(0)^4 + 5(0)^3 = 0$

$x = 1$ のとき $y = 1^5 - 5(1)^4 + 5(1)^3 = 1 - 5 + 5 = 1$

$x = 3$ のとき $y = 3^5 - 5(3)^4 + 5(3)^3 = 243 - 405 + 135 = -27$

したがって、最大値は1 ($x=1$のとき), 最小値は-27 ($x=3$のとき)。

(3) $y = \sin x + \cos x$

$y' = \cos x - \sin x$

$y' = 0$ となるのは $\cos x = \sin x$, つまり $x = \frac{\pi}{4}$。これは区間 $0 \le x \le \pi$ に含まれます。

$x = 0$ のとき $y = \sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1$

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき $y = \sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

$x = \pi$ のとき $y = \sin \pi + \cos \pi = 0 + (-1) = -1$

したがって、最大値は $\sqrt{2}$ ($x=\frac{\pi}{4}$のとき), 最小値は-1 ($x=\pi$のとき)。

(4) $y = x^2 - 4\log x$

$y' = 2x - \frac{4}{x} = \frac{2x^2 - 4}{x} = \frac{2(x^2 - 2)}{x}$

$y' = 0$ となるのは $x^2 = 2$, つまり $x = \sqrt{2}$。これは区間 $1 \le x \le e$ に含まれます。

$x = 1$ のとき $y = 1^2 - 4\log 1 = 1 - 4(0) = 1$

$x = \sqrt{2}$ のとき $y = (\sqrt{2})^2 - 4\log \sqrt{2} = 2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \log 2 = 2 - 2\log 2$

$x = e$ のとき $y = e^2 - 4\log e = e^2 - 4(1) = e^2 - 4$

$e \approx 2.718$ なので、$e^2 - 4 \approx 7.389 - 4 = 3.389$. $\log 2 \approx 0.693$ なので、$2 - 2\log 2 \approx 2 - 2(0.693) = 2 - 1.386 = 0.614$.

したがって、最大値は $e^2 - 4$ ($x=e$のとき), 最小値は $2 - 2\log 2$ ($x=\sqrt{2}$のとき)。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 5, 最小値: -27

(2) 最大値: 1, 最小値: -27

(3) 最大値: $\sqrt{2}$, 最小値: -1

(4) 最大値: $e^2 - 4$, 最小値: $2 - 2\log 2$