与えられた積分 $\int \sqrt{\frac{x-2}{x-1}} dx$ を解く問題です。ただし、$x > 2$ という条件が与えられています。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \sqrt{\frac{x-2}{x-1}} dx$ を解く問題です。ただし、$x > 2$ という条件が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を簡単にするために、置換積分を行います。

$u = \sqrt{\frac{x-2}{x-1}}$ とおきます。

すると、$u^2 = \frac{x-2}{x-1}$ となります。

これを $x$ について解きます。

$u^2(x-1) = x-2$

$u^2x - u^2 = x - 2$

$u^2x - x = u^2 - 2$

$x(u^2 - 1) = u^2 - 2$

$x = \frac{u^2 - 2}{u^2 - 1}$

次に、$x$ を $u$ で微分します。

$\frac{dx}{du} = \frac{d}{du} \left(\frac{u^2 - 2}{u^2 - 1}\right)$

$\frac{dx}{du} = \frac{2u(u^2 - 1) - (u^2 - 2)(2u)}{(u^2 - 1)^2}$

$\frac{dx}{du} = \frac{2u^3 - 2u - 2u^3 + 4u}{(u^2 - 1)^2}$

$\frac{dx}{du} = \frac{2u}{(u^2 - 1)^2}$

したがって、$dx = \frac{2u}{(u^2 - 1)^2} du$ となります。

積分を $u$ の変数に置き換えます。

$\int \sqrt{\frac{x-2}{x-1}} dx = \int u \cdot \frac{2u}{(u^2 - 1)^2} du = \int \frac{2u^2}{(u^2 - 1)^2} du$

ここで、部分分数分解を行います。

$\frac{2u^2}{(u^2 - 1)^2} = \frac{2u^2}{(u - 1)^2(u + 1)^2} = \frac{A}{u-1} + \frac{B}{(u-1)^2} + \frac{C}{u+1} + \frac{D}{(u+1)^2}$

$2u^2 = A(u-1)(u+1)^2 + B(u+1)^2 + C(u+1)(u-1)^2 + D(u-1)^2$

$u=1$ のとき、$2 = 4B$ より $B = \frac{1}{2}$

$u=-1$ のとき、$2 = 4D$ より $D = \frac{1}{2}$

$2u^2 = A(u-1)(u^2+2u+1) + \frac{1}{2}(u^2+2u+1) + C(u+1)(u^2-2u+1) + \frac{1}{2}(u^2-2u+1)$

$2u^2 = A(u^3+2u^2+u-u^2-2u-1) + \frac{1}{2}u^2+u+\frac{1}{2} + C(u^3-2u^2+u+u^2-2u+1) + \frac{1}{2}u^2-u+\frac{1}{2}$

$2u^2 = A(u^3+u^2-u-1) + \frac{1}{2}u^2+u+\frac{1}{2} + C(u^3-u^2-u+1) + \frac{1}{2}u^2-u+\frac{1}{2}$

$2u^2 = (A+C)u^3 + (A-C+1)u^2 + (-A-C)u + (-A+C+1)$

$A+C=0$

$A-C+1 = 2$

$-A-C=0$

$-A+C+1=0$

$A+C=0$ より $C=-A$

$A-(-A)+1 = 2A+1 = 2$ より $A=\frac{1}{2}$

$C=-\frac{1}{2}$

$\frac{2u^2}{(u^2 - 1)^2} = \frac{1/2}{u-1} + \frac{1/2}{(u-1)^2} + \frac{-1/2}{u+1} + \frac{1/2}{(u+1)^2}$

$\int \frac{2u^2}{(u^2 - 1)^2} du = \frac{1}{2} \int \left(\frac{1}{u-1} + \frac{1}{(u-1)^2} - \frac{1}{u+1} + \frac{1}{(u+1)^2}\right) du$

$= \frac{1}{2} \left(\ln|u-1| - \frac{1}{u-1} - \ln|u+1| - \frac{1}{u+1}\right) + C$

$= \frac{1}{2} \left(\ln\left|\frac{u-1}{u+1}\right| - \frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1}\right) + C$

$= \frac{1}{2} \left(\ln\left|\frac{u-1}{u+1}\right| - \frac{u+1+u-1}{(u-1)(u+1)}\right) + C$

$= \frac{1}{2} \left(\ln\left|\frac{u-1}{u+1}\right| - \frac{2u}{u^2-1}\right) + C$

$= \frac{1}{2} \ln\left|\frac{u-1}{u+1}\right| - \frac{u}{u^2-1} + C$

$u = \sqrt{\frac{x-2}{x-1}}$ を代入します。

$= \frac{1}{2} \ln\left|\frac{\sqrt{\frac{x-2}{x-1}}-1}{\sqrt{\frac{x-2}{x-1}}+1}\right| - \frac{\sqrt{\frac{x-2}{x-1}}}{\frac{x-2}{x-1}-1} + C$

$= \frac{1}{2} \ln\left|\frac{\sqrt{x-2}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-2}+\sqrt{x-1}}\right| - \frac{\sqrt{x-2}\sqrt{x-1}}{x-2-(x-1)} + C$

$= \frac{1}{2} \ln\left|\frac{\sqrt{x-2}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-2}+\sqrt{x-1}}\right| + \sqrt{(x-2)(x-1)} + C$

$\frac{\sqrt{x-2}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-2}+\sqrt{x-1}} = \frac{(\sqrt{x-2}-\sqrt{x-1})^2}{x-2-(x-1)} = \frac{x-2-2\sqrt{(x-2)(x-1)}+x-1}{-1} = -2x+3+2\sqrt{(x-2)(x-1)}$

$= \frac{1}{2} \ln\left| -2x+3+2\sqrt{(x-2)(x-1)} \right| + \sqrt{(x-2)(x-1)} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln\left| -2x+3+2\sqrt{(x-2)(x-1)} \right| + \sqrt{(x-2)(x-1)} + C$

または

$\sqrt{(x-1)(x-2)} + \ln(\sqrt{x-1} - \sqrt{x-2}) + C$