与えられた関数を対数微分法を用いて微分する問題です。以下の4つの関数について解きます。 (1) $y = x^{\log x} \quad (x > 0)$ (2) $y = (\log x)^x \quad (x > 1)$ (3) $y = \frac{(x+3)^2(x-2)^3}{(x+1)^4} \quad (x > 2)$ (4) $y = \sqrt[3]{\frac{x^2+1}{(x+1)^2}} \quad (x > -1)$

はい、承知いたしました。対数微分法を用いて、以下の関数を微分します。

1. 問題の内容

与えられた関数を対数微分法を用いて微分する問題です。以下の4つの関数について解きます。

(1) $y = x^{\log x} \quad (x > 0)$

(2) $y = (\log x)^x \quad (x > 1)$

(3) $y = \frac{(x+3)^2(x-2)^3}{(x+1)^4} \quad (x > 2)$

(4) $y = \sqrt[3]{\frac{x^2+1}{(x+1)^2}} \quad (x > -1)$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^{\log x}$

両辺の自然対数をとります。

$\log y = \log (x^{\log x}) = (\log x) (\log x) = (\log x)^2$

両辺を$x$で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2 (\log x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \log x}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{2 \log x}{x} = x^{\log x} \cdot \frac{2 \log x}{x} = \frac{2 x^{\log x} \log x}{x}$

(2) $y = (\log x)^x$

両辺の自然対数をとります。

$\log y = \log ((\log x)^x) = x \log(\log x)$

両辺を$x$で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log(\log x) + x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \log(\log x) + \frac{1}{\log x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \log(\log x) + \frac{1}{\log x} \right) = (\log x)^x \left( \log(\log x) + \frac{1}{\log x} \right)$

(3) $y = \frac{(x+3)^2(x-2)^3}{(x+1)^4}$

両辺の自然対数をとります。

$\log y = \log \left( \frac{(x+3)^2(x-2)^3}{(x+1)^4} \right) = 2 \log(x+3) + 3 \log(x-2) - 4 \log(x+1)$

両辺を$x$で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x+3} + \frac{3}{x-2} - \frac{4}{x+1}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{2}{x+3} + \frac{3}{x-2} - \frac{4}{x+1} \right) = \frac{(x+3)^2(x-2)^3}{(x+1)^4} \left( \frac{2}{x+3} + \frac{3}{x-2} - \frac{4}{x+1} \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+3)^2(x-2)^3}{(x+1)^4} \left( \frac{2(x-2)(x+1) + 3(x+3)(x+1) - 4(x+3)(x-2)}{(x+3)(x-2)(x+1)} \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+3)^2(x-2)^3}{(x+1)^4} \left( \frac{2(x^2-x-2) + 3(x^2+4x+3) - 4(x^2+x-6)}{(x+3)(x-2)(x+1)} \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+3)^2(x-2)^3}{(x+1)^4} \left( \frac{2x^2-2x-4 + 3x^2+12x+9 - 4x^2-4x+24}{(x+3)(x-2)(x+1)} \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+3)^2(x-2)^3}{(x+1)^4} \left( \frac{x^2+6x+29}{(x+3)(x-2)(x+1)} \right) = \frac{(x+3)(x-2)^2(x^2+6x+29)}{(x+1)^5}$

(4) $y = \sqrt[3]{\frac{x^2+1}{(x+1)^2}}$

両辺の自然対数をとります。

$\log y = \log \left( \left( \frac{x^2+1}{(x+1)^2} \right)^{\frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{3} \log \left( \frac{x^2+1}{(x+1)^2} \right) = \frac{1}{3} (\log(x^2+1) - 2 \log(x+1))$

両辺を$x$で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \left( \frac{2x}{x^2+1} - \frac{2}{x+1} \right) = \frac{2}{3} \left( \frac{x}{x^2+1} - \frac{1}{x+1} \right) = \frac{2}{3} \left( \frac{x(x+1) - (x^2+1)}{(x^2+1)(x+1)} \right)$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} \left( \frac{x^2+x-x^2-1}{(x^2+1)(x+1)} \right) = \frac{2}{3} \left( \frac{x-1}{(x^2+1)(x+1)} \right)$

$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{2}{3} \left( \frac{x-1}{(x^2+1)(x+1)} \right) = \sqrt[3]{\frac{x^2+1}{(x+1)^2}} \cdot \frac{2(x-1)}{3(x^2+1)(x+1)} = \frac{2(x-1)}{3(x+1)} \sqrt[3]{\frac{1}{(x^2+1)^2(x+1)}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2(x-1)}{3(x+1)} \frac{1}{\sqrt[3]{(x^2+1)^2 (x+1)}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{2 x^{\log x} \log x}{x}$

(2) $\frac{dy}{dx} = (\log x)^x \left( \log(\log x) + \frac{1}{\log x} \right)$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{(x+3)(x-2)^2(x^2+6x+29)}{(x+1)^5}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{2(x-1)}{3(x+1)} \sqrt[3]{\frac{1}{(x^2+1)^2 (x+1)}}$