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問題は三角関数の値を求める問題と、三角関数の恒等式を利用して式を計算する問題の2つです。 * 96: $\pi < \theta < 2\pi$ のとき、$\cos\theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$ から、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めます。 * 97: $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = (\frac{1}{2})^2$ と $a^3 + b^3$ の因数分解の公式を利用して、 $\sin\theta \cos\theta$ および $\sin^3\theta + \cos^3\theta$ の値を求めます。

解析学三角関数三角関数の恒等式三角比三平方の定理
2025/8/5

1. 問題の内容

問題は三角関数の値を求める問題と、三角関数の恒等式を利用して式を計算する問題の2つです。
* 96: π<θ<2π\pi < \theta < 2\pi のとき、cos⁡θ=63\cos\theta = \frac{\sqrt{6}}{3} から、sin⁡θ\sin\theta と tan⁡θ\tan\theta の値を求めます。
* 97: (sin⁡θ+cos⁡θ)2=(12)2(\sin\theta + \cos\theta)^2 = (\frac{1}{2})^2 と a3+b3a^3 + b^3 の因数分解の公式を利用して、 sin⁡θcos⁡θ\sin\theta \cos\theta および sin⁡3θ+cos⁡3θ\sin^3\theta + \cos^3\theta の値を求めます。

2. 解き方の手順

**96**
* cos⁡θ\cos\theta が正であることから、θ\theta は第4象限の角です。
* 第4象限では、sin⁡θ\sin\theta は負、tan⁡θ\tan\theta は負になります。
* 直角三角形の斜辺を3、隣辺を 6\sqrt{6} とすると、三平方の定理より、対辺は 32−(6)2=9−6=3\sqrt{3^2 - (\sqrt{6})^2} = \sqrt{9 - 6} = \sqrt{3} となります。
* よって、sin⁡θ=−33\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{3} であり、tan⁡θ=−36=−12=−22\tan\theta = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} となります。
**97**
* (sin⁡θ+cos⁡θ)2=(12)2(\sin\theta + \cos\theta)^2 = (\frac{1}{2})^2 を展開すると、sin⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=14\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{1}{4} となります。
* sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 であるから、1+2sin⁡θcos⁡θ=141 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4} となります。
* 2sin⁡θcos⁡θ=14−1=−342\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}
* よって、sin⁡θcos⁡θ=−38\sin\theta\cos\theta = -\frac{3}{8} となります。
* a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) の公式を用いると、sin⁡3θ+cos⁡3θ=(sin⁡θ+cos⁡θ)(sin⁡2θ−sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ)=(sin⁡θ+cos⁡θ)(1−sin⁡θcos⁡θ)\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)(\sin^2\theta - \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta) = (\sin\theta + \cos\theta)(1 - \sin\theta\cos\theta) となります。
* sin⁡θ+cos⁡θ=12\sin\theta + \cos\theta = \frac{1}{2} であり、sin⁡θcos⁡θ=−38\sin\theta\cos\theta = -\frac{3}{8} なので、sin⁡3θ+cos⁡3θ=12(1−(−38))=12(1+38)=12×118=1116\sin^3\theta + \cos^3\theta = \frac{1}{2}(1 - (-\frac{3}{8})) = \frac{1}{2}(1 + \frac{3}{8}) = \frac{1}{2} \times \frac{11}{8} = \frac{11}{16} となります。

3. 最終的な答え

**96**
* 第4象限
* sin⁡θ=−33\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{3}
* tan⁡θ=−22\tan\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}
**97**
* (sin⁡θ+cos⁡θ)2=sin⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=14(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{1}{4}
* 1+2sin⁡θcos⁡θ=141 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4}
* 2sin⁡θcos⁡θ=−342\sin\theta\cos\theta = -\frac{3}{4}
* sin⁡θcos⁡θ=−38\sin\theta\cos\theta = -\frac{3}{8}
* a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)
* sin⁡3θ+cos⁡3θ=(sin⁡θ+cos⁡θ)(sin⁡2θ−sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ)\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)(\sin^2\theta - \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)
* sin⁡3θ+cos⁡3θ=12(1+38)\sin^3\theta + \cos^3\theta = \frac{1}{2}(1 + \frac{3}{8})
* sin⁡3θ+cos⁡3θ=1116\sin^3\theta + \cos^3\theta = \frac{11}{16}

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