関数 $f_1(x) = \sqrt{1-x^2}$ が与えられています。この関数の1階微分 $f_1'(x)$、2階微分 $f_1^{(2)}(x)$、および3階微分 $f_1^{(3)}(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f_1(x) = \sqrt{1-x^2}$ が与えられています。この関数の1階微分 $f_1'(x)$、2階微分 $f_1^{(2)}(x)$、および3階微分 $f_1^{(3)}(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(a) $f_1'(x)$ を求める。

$f_1(x) = (1-x^2)^{1/2}$ なので、合成関数の微分公式を用いて、

$$f_1'(x) = \frac{1}{2}(1-x^2)^{-1/2} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$$

(b) $f_1^{(2)}(x)$ を求める。

$f_1'(x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$ の微分は、商の微分公式を用いて、

$$f_1^{(2)}(x) = \frac{(-1)\sqrt{1-x^2} - (-x)\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} = \frac{-\sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} = \frac{-\frac{1-x^2+x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} = \frac{-1}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}} = \frac{-1}{(1-x^2)^{3/2}}$$

(c) $f_1^{(3)}(x)$ を求める。

$f_1^{(2)}(x) = -(1-x^2)^{-3/2}$ の微分は、合成関数の微分公式を用いて、

$$f_1^{(3)}(x) = -(-\frac{3}{2})(1-x^2)^{-5/2}(-2x) = -3x(1-x^2)^{-5/2} = \frac{-3x}{(1-x^2)^{5/2}}$$

3. 最終的な答え

(a) $f_1'(x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

(b) $f_1^{(2)}(x) = \frac{-1}{(1-x^2)^{3/2}}$

(c) $f_1^{(3)}(x) = \frac{-3x}{(1-x^2)^{5/2}}$