与えられた二重積分について、積分範囲の図示、積分順序の変更、関数が具体的に与えられた場合の積分の計算を行う問題です。

##

4. 下の積分式について、次の問いに答えよ。

$\int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\sqrt{y}} f(x,y) dx \right) dy$

**(1) 積分範囲を図示せよ。**

**(2) 積分の順序を変更して積分式を表せ。**

**(3) $f(x, y) = x^2 + y$ のとき、上の積分を求めよ。**

1. 問題の内容

与えられた二重積分について、積分範囲の図示、積分順序の変更、関数が具体的に与えられた場合の積分の計算を行う問題です。

2. 解き方の手順

(1) 積分範囲の図示

与えられた積分 $\int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\sqrt{y}} f(x,y) dx \right) dy$ から、積分範囲を読み取ります。

* yの積分範囲: $0 \leq y \leq 1$

* xの積分範囲: $0 \leq x \leq \sqrt{y}$

$x = \sqrt{y}$ を $y = x^2$ と書き換えます。積分範囲は、xy平面上の領域で、$0 \leq y \leq 1$ かつ $0 \leq x \leq \sqrt{y}$、すなわち $0 \leq x \leq 1$ かつ $x^2 \leq y \leq 1$ です。

(2) 積分の順序の変更

積分の順序を変更するには、積分範囲をxで先に積分するように書き換えます。

上記より、$0 \leq x \leq 1$ かつ $x^2 \leq y \leq 1$ なので、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} \left( \int_{x^2}^{1} f(x,y) dy \right) dx$

(3) $f(x, y) = x^2 + y$ のときの積分の計算

$f(x, y) = x^2 + y$ を与えられた積分に代入し、積分を計算します。

まず、元の積分について計算します。

$\int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\sqrt{y}} (x^2 + y) dx \right) dy = \int_{0}^{1} \left[ \frac{x^3}{3} + xy \right]_{0}^{\sqrt{y}} dy$

$= \int_{0}^{1} \left( \frac{y^{3/2}}{3} + y^{3/2} \right) dy = \int_{0}^{1} \frac{4}{3} y^{3/2} dy$

$= \frac{4}{3} \left[ \frac{2}{5} y^{5/2} \right]_{0}^{1} = \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{15}$

次に、積分順序を変更した後の積分について計算します。

$\int_{0}^{1} \left( \int_{x^2}^{1} (x^2 + y) dy \right) dx = \int_{0}^{1} \left[ x^2y + \frac{y^2}{2} \right]_{x^2}^{1} dx$

$= \int_{0}^{1} \left( x^2 + \frac{1}{2} - x^4 - \frac{x^4}{2} \right) dx = \int_{0}^{1} \left( x^2 + \frac{1}{2} - \frac{3}{2}x^4 \right) dx$

$= \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} \cdot \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{3}{10} = \frac{10 + 15 - 9}{30} = \frac{16}{30} = \frac{8}{15}$

3. 最終的な答え

(1) 積分範囲の図示: xy平面上の領域で、$0 \leq x \leq 1$ かつ $x^2 \leq y \leq 1$。

(2) 積分の順序を変更した積分式: $\int_{0}^{1} \left( \int_{x^2}^{1} f(x,y) dy \right) dx$

(3) $f(x, y) = x^2 + y$ のときの積分: $\frac{8}{15}$