はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

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1. 問題の内容**

この問題は、三角関数の2倍角の公式、三角関数の合成、関数の周期とグラフの平行移動に関するものです。

(101)

* 2倍角の公式を完成させる。

* $\cos\theta = -\frac{2}{3}$ のとき、$\sin\theta$ を求め、$\sin2\theta$ と $\cos2\theta$ を計算する。

(102)

* $y = \sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) の最大値と最小値を求めたい。加法定理を用いて合成する。

(103)

* (1) $y = \sin\frac{\theta}{2}$ のグラフの周期を求める。

* (2) $y = \cos(2\theta - \frac{\pi}{4})$ のグラフが $y = \cos2\theta$ のグラフをどのように平行移動したものか記述する。

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2. 解き方の手順**

**(101)**

* **2倍角の公式:**

* $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

* $\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$

* **$\sin\theta$ の計算:**

$0 < \theta < \pi$ で $\cos\theta = -\frac{2}{3}$ なので、$\sin\theta > 0$ である。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - (-\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

よって、$\sin\theta = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

* **$\sin2\theta$ の計算:**

$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{4\sqrt{5}}{9}$

* **$\cos2\theta$ の計算:**

$\cos2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 2 \cdot (-\frac{2}{3})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{4}{9} - 1 = \frac{8}{9} - 1 = -\frac{1}{9}$

**(102)**

* **合成:**

$y = \sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

合成の公式: $a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta + \alpha)$ ただし、$\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

* **$\theta$ の範囲:**

$0 \le \theta \le \pi$ より、$\frac{\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3}$

* **$\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ の最大値と最小値:**

* $\frac{\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3}$ において、$\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ の最大値は 1 ($\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ のとき) 。

* $\frac{\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3}$ において、$\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ の最小値は $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ($\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ のとき)。

* **$y$ の最大値と最小値:**

* $y$ の最大値は $2 \times 1 = 2$

* $y$ の最小値は $2 \times (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3}$

**(103)**

* **(1) 周期:**

$y = \sin\frac{\theta}{2}$ の周期は $4\pi$ である。 $\sin(k\theta)$の周期は$2\pi/k$で求められる。

* **(2) 平行移動:**

$y = \cos(2\theta - \frac{\pi}{4}) = \cos(2(\theta - \frac{\pi}{8}))$

よって、$y = \cos(2\theta - \frac{\pi}{4})$ のグラフは、$y = \cos2\theta$ のグラフを $\theta$ 軸方向に $\frac{\pi}{8}$ だけ平行移動したものである。

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3. 最終的な答え**

**(101)**

* $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

* $\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$

* $\sin\theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$

* $\sin2\theta = -\frac{4\sqrt{5}}{9}$

* $\cos2\theta = -\frac{1}{9}$

**(102)**

* $y = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

* $\frac{\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{3} \le \frac{4\pi}{3}$

* $y$ の最大値は 2

* $y$ の最小値は $-\sqrt{3}$

**(103)**

* (1) $4\pi$

* (2) $\frac{\pi}{8}$