$I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx$ と定義されているとき、以下の問いに答えます。 (1) $I_{n+2}$ と $I_n$ の間の関係式を求めます。 (2) $I_{n+1}I_n$ を求めます。 (3) $\lim_{n \to \infty} I_n = 0$ であることを示します。

1. 問題の内容

$I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx$ と定義されているとき、以下の問いに答えます。

(1) $I_{n+2}$ と $I_n$ の間の関係式を求めます。

(2) $I_{n+1}I_n$ を求めます。

(3) $\lim_{n \to \infty} I_n = 0$ であることを示します。

2. 解き方の手順

(1) $I_{n+2}$ と $I_n$ の間の関係式を求める。

部分積分を用いて $I_{n+2}$ を変形します。

$I_{n+2} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+2} x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1} x \sin x \, dx$

$u = \sin^{n+1} x$, $dv = \sin x \, dx$ とおくと、

$du = (n+1) \sin^n x \cos x \, dx$, $v = -\cos x$

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を用いると、

$I_{n+2} = \left[ -\sin^{n+1} x \cos x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} + \int_0^{\frac{\pi}{2}} (n+1) \sin^n x \cos^2 x \, dx$

$= 0 + (n+1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x (1 - \sin^2 x) \, dx$

$= (n+1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx - (n+1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+2} x \, dx$

$= (n+1) I_n - (n+1) I_{n+2}$

したがって、$I_{n+2} = (n+1)I_n - (n+1)I_{n+2}$ より、

$(n+2)I_{n+2} = (n+1)I_n$

$I_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} I_n$

(2) $I_{n+1}I_n$ を求める。

$I_0 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} dx = \frac{\pi}{2}$

$I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1$

(1)で求めた関係式より、

$I_{n+2} = \frac{n+1}{n+2}I_n$

$I_{n+1} = \frac{n}{n+1} I_{n-1}$

$I_{n+1} I_n = \frac{n}{n+1}I_{n-1} I_n$

Wallisの公式より、$I_{2n} = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \frac{\pi}{2}$ , $I_{2n+1} = \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$

$\frac{I_{n+2}}{I_{n+1}} = \frac{n+1}{n+2} \frac{I_n}{I_{n+1}}$

$I_{n+1}I_n = \frac{\pi}{2(n+1)}$ を数学的帰納法で示す。

$n=0$のとき $I_1 I_0 = 1 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$. よって成立。

$n=1$のとき $I_2 I_1 = \frac{1}{2} \frac{\pi}{2} \cdot 1 = \frac{\pi}{4}$ 。よって成立。

帰納法の仮定: $I_k I_{k+1} = \frac{\pi}{2(k+1)}$ が成立すると仮定する。

$I_{k+1} = \frac{k}{k+1}I_{k-1}$

$I_{k+2}I_{k+1} = \frac{k+1}{k+2} I_k I_{k+1} = \frac{k+1}{k+2} \frac{\pi}{2(k+1)} = \frac{\pi}{2(k+2)}$

よって $n=k+1$ でも成立。

(3) $\lim_{n \to \infty} I_n = 0$ であることを示す。

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ において、 $0 < \sin x < 1$.

したがって、$0 < \sin^{n+1} x < \sin^n x$.

$0 < \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1} x \, dx < \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx$

$0 < I_{n+1} < I_n$

$I_n > 0$ であり、 $I_n$ は単調減少であるから、 $\lim_{n \to \infty} I_n$ は存在する。

その値を $L$ とおく。

$\lim_{n \to \infty} I_n = L$

$I_{n+2} = \frac{n+1}{n+2}I_n$

$\lim_{n \to \infty} I_{n+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n+2}I_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}} \lim_{n \to \infty} I_n = 1 \cdot L = L$

$I_{n+1} I_n = \frac{\pi}{2(n+1)}$

$\lim_{n \to \infty} I_{n+1} I_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{2(n+1)} = 0$

$\lim_{n \to \infty} I_{n+1} I_n = L \cdot L = L^2$

したがって、$L^2 = 0$ より $L = 0$.

3. 最終的な答え

(1) $I_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} I_n$

(2) $I_{n+1}I_n = \frac{\pi}{2(n+1)}$

(3) $\lim_{n \to \infty} I_n = 0$