$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} dx$ を計算しなさい。

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} dx$ を計算しなさい。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算しやすいように、被積分関数を指数で書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-\frac{1}{3}}$

次に、べき関数の積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を適用します。

今回の問題では、$n = -\frac{1}{3}$ です。

$\int x^{-\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{3} + 1}}{-\frac{1}{3} + 1} + C$

指数を計算します。

$-\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$

したがって、

$\int x^{-\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} + C$

最後に、$x^{\frac{2}{3}}$ を根号の形に戻します。

$x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2}$

したがって、

$\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{2} \sqrt[3]{x^2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2} + C$