与えられた積分 $\int \frac{e^x}{1+e^x} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{e^x}{1+e^x} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

置換積分を用いて解きます。

(1) $u = 1 + e^x$ と置きます。

(2) 両辺を $x$ で微分すると、$\frac{du}{dx} = e^x$ となります。

(3) よって、$du = e^x dx$ となります。

(4) 与えられた積分を $u$ で書き換えると、

$\int \frac{e^x}{1+e^x} dx = \int \frac{1}{u} du$ となります。

(5) $\int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C$ となります。

(6) $u = 1 + e^x$ を代入すると、$\ln |1 + e^x| + C$ となります。

(7) $1+e^x > 0$ であるため、$\ln (1 + e^x) + C$ となります。

3. 最終的な答え

$\ln(1+e^x) + C$