関数 $f(x) = \frac{x^3}{x^2-1}$ の増減、極値、凹凸を調べて、曲線 $y=f(x)$ の概形を描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x^3}{x^2-1}$ の増減、極値、凹凸を調べて、曲線 $y=f(x)$ の概形を描く問題です。

2. 解き方の手順

(1) 定義域の確認:

$x^2 - 1 \neq 0$ より、$x \neq \pm 1$。定義域は $x < -1$, $-1 < x < 1$, $x > 1$ です。

(2) 導関数の計算:

$f'(x) = \frac{(x^2-1)(3x^2) - x^3(2x)}{(x^2-1)^2} = \frac{3x^4 - 3x^2 - 2x^4}{(x^2-1)^2} = \frac{x^4 - 3x^2}{(x^2-1)^2} = \frac{x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2}$

$f''(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{x^4 - 3x^2}{(x^2-1)^2}\right) = \frac{(4x^3-6x)(x^2-1)^2 - (x^4-3x^2)(2(x^2-1)(2x))}{(x^2-1)^4}$

$= \frac{(4x^3-6x)(x^2-1) - (x^4-3x^2)(4x)}{(x^2-1)^3} = \frac{4x^5 - 4x^3 - 6x^3 + 6x - 4x^5 + 12x^3}{(x^2-1)^3} = \frac{2x^3 + 6x}{(x^2-1)^3} = \frac{2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}$

(3) 増減の調査:

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 0, \pm \sqrt{3}$ のとき。

$f'(x) > 0$ となるのは、$x < -\sqrt{3}$ または $x > \sqrt{3}$ のとき。

$f'(x) < 0$ となるのは、$-\sqrt{3} < x < -1$, $-1 < x < 0$, $0 < x < 1$, $1 < x < \sqrt{3}$ のとき。

(4) 極値の計算:

$x = -\sqrt{3}$ で極大値 $f(-\sqrt{3}) = \frac{-3\sqrt{3}}{3-1} = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

$x = \sqrt{3}$ で極小値 $f(\sqrt{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{3-1} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

$x=0$ では$f'(x)=0$ だが、極値を取らない。

(5) 凹凸の調査:

$f''(x) = 0$ となるのは、$x = 0$ のとき。

$f''(x) > 0$ となるのは、$x > 1$ または $-1 < x < 0$ のとき。

$f''(x) < 0$ となるのは、$x < -1$ または $0 < x < 1$ のとき。

(6) 変曲点の計算:

$x=0$ で変曲点、$f(0) = 0$。

(7) 漸近線の調査:

$x = \pm 1$ は垂直漸近線。

$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2-1} = 1$

$\lim_{x \to \infty} f(x) - x = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x(x^2-1)}{x^2-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2-1} = 0$

よって、$y=x$ は斜め漸近線。

(8) グラフの概形:

上記の情報を基にグラフを描きます。定義域、漸近線、極値、変曲点、増減、凹凸に注意します。

3. 最終的な答え

* 定義域: $x \neq \pm 1$

* 極大値: $x = -\sqrt{3}$ で $f(-\sqrt{3}) = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$

* 極小値: $x = \sqrt{3}$ で $f(\sqrt{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

* 変曲点: $x=0$ で $(0, 0)$

* 漸近線: $x = \pm 1$ および $y = x$

* 増減: $x < -\sqrt{3}$ で増加, $-\sqrt{3} < x < -1$ で減少, $-1 < x < 0$ で減少, $0 < x < 1$ で減少, $1 < x < \sqrt{3}$ で減少, $x > \sqrt{3}$ で増加

* 凹凸: $x < -1$ で下に凸, $-1 < x < 0$ で上に凸, $0 < x < 1$ で下に凸, $x > 1$ で上に凸

グラフについては、文章での表現が難しいので省略します。上記の情報を元にグラフを描画してください。