与えられた三角関数の式を $r \sin(x + \alpha)$ ($r > 0$) の形に変形する問題です。具体的には、以下の4つの式について、$r$ と $\alpha$ を求めます。 (1) $\sin x + \sqrt{3} \cos x$ (2) $\sin x - \cos x$ (3) $-\sqrt{3} \sin x + \cos x$ (4) $2 \sin x + 5 \cos x$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式を $r \sin(x + \alpha)$ ($r > 0$) の形に変形する問題です。具体的には、以下の4つの式について、$r$ と $\alpha$ を求めます。

(1) $\sin x + \sqrt{3} \cos x$

(2) $\sin x - \cos x$

(3) $-\sqrt{3} \sin x + \cos x$

(4) $2 \sin x + 5 \cos x$

2. 解き方の手順

三角関数の合成公式 $a \sin x + b \cos x = r \sin(x + \alpha)$ を利用します。ここで、$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ であり、$\cos \alpha = \frac{a}{r}$, $\sin \alpha = \frac{b}{r}$ を満たす $\alpha$ を求めます。

(1) $\sin x + \sqrt{3} \cos x$ の場合:

$a = 1$, $b = \sqrt{3}$ より、$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$。

$\cos \alpha = \frac{1}{2}$, $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\alpha$ は $\alpha = \frac{\pi}{3}$ です。

したがって、$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \sin(x + \frac{\pi}{3})$

(2) $\sin x - \cos x$ の場合:

$a = 1$, $b = -1$ より、$r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$。

$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $\alpha$ は $\alpha = -\frac{\pi}{4}$ です。

したがって、$\sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$

(3) $-\sqrt{3} \sin x + \cos x$ の場合:

$a = -\sqrt{3}$, $b = 1$ より、$r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$。

$\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \alpha = \frac{1}{2}$ を満たす $\alpha$ は $\alpha = \frac{5\pi}{6}$ です。

したがって、$-\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2 \sin(x + \frac{5\pi}{6})$

(4) $2 \sin x + 5 \cos x$ の場合:

$a = 2$, $b = 5$ より、$r = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$。

$\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{29}}$, $\sin \alpha = \frac{5}{\sqrt{29}}$ を満たす $\alpha$ は $\alpha = \arctan(\frac{5}{2})$ です。

したがって、$2 \sin x + 5 \cos x = \sqrt{29} \sin(x + \arctan(\frac{5}{2}))$

3. 最終的な答え

(1) $2 \sin(x + \frac{\pi}{3})$

(2) $\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$

(3) $2 \sin(x + \frac{5\pi}{6})$

(4) $\sqrt{29} \sin(x + \arctan(\frac{5}{2}))$