次の不定積分を計算します。 $\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx$

2. 解き方の手順

置換積分を行います。

$u = \cos x$ と置くと、$du = -\sin x dx$ となります。

したがって、$\sin x dx = -du$ となり、積分は次のように書き換えられます。

$\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{-du}{u^2} = - \int u^{-2} du$

$u^{-2}$ の積分は $\frac{u^{-1}}{-1} = -\frac{1}{u}$ です。

したがって、

$- \int u^{-2} du = - \left( - \frac{1}{u} \right) + C = \frac{1}{u} + C$

ここで、$u = \cos x$ に戻すと、

$\frac{1}{u} + C = \frac{1}{\cos x} + C = \sec x + C$

3. 最終的な答え

$\sec x + C$