与えられた関数の極値を求め、増減表を完成させる問題です。 (1) $y = \frac{x}{x^2 + 1}$ (2) $y = \frac{\log x}{x^2}$

1. 問題の内容

与えられた関数の極値を求め、増減表を完成させる問題です。

(1) $y = \frac{x}{x^2 + 1}$

(2) $y = \frac{\log x}{x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{x}{x^2 + 1}$ の場合：

1. $y$ を微分して、$y'$ を求めます。

$y' = \frac{(x^2 + 1)(1) - x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-x^2 + 1}{(x^2 + 1)^2}$

2. $y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$\frac{-x^2 + 1}{(x^2 + 1)^2} = 0$ より、$-x^2 + 1 = 0$

$x^2 = 1$ より、$x = \pm 1$

3. 増減表を作成します。

$x < -1$ のとき、$y' < 0$

$-1 < x < 1$ のとき、$y' > 0$

$x > 1$ のとき、$y' < 0$

4. 極値を求めます。

$x = -1$ のとき、$y = \frac{-1}{(-1)^2 + 1} = -\frac{1}{2}$ (極小値)

$x = 1$ のとき、$y = \frac{1}{(1)^2 + 1} = \frac{1}{2}$ (極大値)

(2) $y = \frac{\log x}{x^2}$ の場合：

1. $y$ を微分して、$y'$ を求めます。

$y' = \frac{x^2(\frac{1}{x}) - (\log x)(2x)}{(x^2)^2} = \frac{x - 2x\log x}{x^4} = \frac{x(1 - 2\log x)}{x^4} = \frac{1 - 2\log x}{x^3}$

2. $y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$\frac{1 - 2\log x}{x^3} = 0$ より、$1 - 2\log x = 0$

$2\log x = 1$

$\log x = \frac{1}{2}$

$x = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$

3. 増減表を作成します。

$0 < x < \sqrt{e}$ のとき、$y' > 0$

$x > \sqrt{e}$ のとき、$y' < 0$

4. 極値を求めます。

$x = \sqrt{e}$ のとき、$y = \frac{\log \sqrt{e}}{(\sqrt{e})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{e} = \frac{1}{2e}$ (極大値)

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{x}{x^2 + 1}$ の場合：

極大値：$\frac{1}{2}$ ($x = 1$ のとき)

極小値：$-\frac{1}{2}$ ($x = -1$ のとき)

(2) $y = \frac{\log x}{x^2}$ の場合：

極大値：$\frac{1}{2e}$ ($x = \sqrt{e}$ のとき)

極小値：なし