集合 $A = \{ x | x = 1 + \frac{1}{n}, n は自然数 \}$ に対して、max $A$, min $A$, sup $A$, inf $A$ が存在するか調べ、存在する場合はその値を求めよ。

1. 問題の内容

集合 $A = \{ x | x = 1 + \frac{1}{n}, n は自然数 \}$ に対して、max $A$, min $A$, sup $A$, inf $A$ が存在するか調べ、存在する場合はその値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、集合 $A$ の要素をいくつか書き出してみます。

$n = 1$ のとき、$x = 1 + \frac{1}{1} = 2$

$n = 2$ のとき、$x = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$

$n = 3$ のとき、$x = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \approx 1.33$

$n = 4$ のとき、$x = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} = 1.25$

一般に、$n$ が大きくなるほど、$\frac{1}{n}$ は小さくなり、$1 + \frac{1}{n}$ は1に近づきます。

したがって、集合 $A$ の要素は、$n = 1$ のときに最大値を取り、それは2です。

また、$n$ が限りなく大きくなるにつれて、要素は1に近づきますが、1になることはありません。

したがって、最小値は存在しませんが、下限は1となります。

* max $A$ について: $A$ の要素の最大値は、 $n=1$ のとき、$1 + \frac{1}{1} = 2$ です。よって、max $A = 2$。

* min $A$ について: $A$ の要素の最小値は存在しません。なぜなら、$n$ を大きくすると $1 + \frac{1}{n}$ は1に近づきますが、1になることはないからです。よって、min $A$ は存在しない。

* sup $A$ について: $A$ の上限は、 $A$ の要素の最大値と一致します。よって、sup $A = 2$。

* inf $A$ について: $A$ の下限は、 $A$ の要素が近づく値であり、それは1です。よって、inf $A = 1$。

3. 最終的な答え

* max $A = 2$

* min $A$ は存在しない

* sup $A = 2$

* inf $A = 1$