$\int \log(x+1) dx$ を計算する。

1. 問題の内容

$\int \log(x+1) dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

$\int \log(x+1) dx$ を部分積分を用いて解く。

$u = \log(x+1)$ と $dv = dx$ とおく。

すると $du = \frac{1}{x+1} dx$ と $v = x$ となる。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$\int \log(x+1) dx = x \log(x+1) - \int \frac{x}{x+1} dx$

$\int \frac{x}{x+1} dx = \int \frac{x+1-1}{x+1} dx = \int (1 - \frac{1}{x+1}) dx = x - \log(x+1) + C$

したがって、

$\int \log(x+1) dx = x \log(x+1) - (x - \log(x+1)) + C$

$= x \log(x+1) - x + \log(x+1) + C$

$= (x+1) \log(x+1) - x + C$

3. 最終的な答え

$(x+1)\log(x+1) - x + C$