関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 6x + 8$ が与えられています。3次方程式 $f(x) = 0$ は異なる3つの実数解 $a, b, c$ を持ち、$a < b < c$ であるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $a, b, c$ の値を求めよ。 (2) 関数 $f(x)$ の極値を求め、グラフの概形を描け。 (3) 定積分 $\int_a^c |f(x)| dx$ の値を求めよ。 (4) 関数 $g_1(x) = |x-a|(x-b)(x-c)$, $g_2(x) = (x-a)|x-b|(x-c)$, $g_3(x) = (x-a)(x-b)|x-c|$ を定義するとき、定積分 $\int_a^c \{g_1(x) + g_2(x) + g_3(x)\} dx$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に解答します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 6x + 8$ が与えられています。3次方程式 $f(x) = 0$ は異なる3つの実数解 $a, b, c$ を持ち、$a < b < c$ であるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $a, b, c$ の値を求めよ。

(2) 関数 $f(x)$ の極値を求め、グラフの概形を描け。

(3) 定積分 $\int_a^c |f(x)| dx$ の値を求めよ。

(4) 関数 $g_1(x) = |x-a|(x-b)(x-c)$, $g_2(x) = (x-a)|x-b|(x-c)$, $g_3(x) = (x-a)(x-b)|x-c|$ を定義するとき、定積分 $\int_a^c \{g_1(x) + g_2(x) + g_3(x)\} dx$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = 0$ を解く。

$f(x) = x^3 - 3x^2 - 6x + 8 = 0$

$f(-2) = -8 - 12 + 12 + 8 = 0$ より、$x = -2$ を解に持つ。

$f(x) = (x+2)(x^2 - 5x + 4) = (x+2)(x-1)(x-4) = 0$

よって、$x = -2, 1, 4$ より、$a = -2, b = 1, c = 4$。

(2) $f(x)$ の極値を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 6 = 3(x^2 - 2x - 2)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

$x = 1 - \sqrt{3}$ のとき、$f(x)$ は極大値をとり、$f(1 - \sqrt{3}) = (1-\sqrt{3})^3 - 3(1-\sqrt{3})^2 - 6(1-\sqrt{3}) + 8 = 1 - 3\sqrt{3} + 9 - 3\sqrt{3} - 3(1 - 2\sqrt{3} + 3) - 6 + 6\sqrt{3} + 8 = 1 - 6\sqrt{3} + 9 - 3 + 6\sqrt{3} - 9 - 6 + 6\sqrt{3} + 8 = 0 + 6\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

$x = 1 + \sqrt{3}$ のとき、$f(x)$ は極小値をとり、$f(1 + \sqrt{3}) = (1+\sqrt{3})^3 - 3(1+\sqrt{3})^2 - 6(1+\sqrt{3}) + 8 = 1 + 3\sqrt{3} + 9 + 3\sqrt{3} - 3(1 + 2\sqrt{3} + 3) - 6 - 6\sqrt{3} + 8 = 1 + 6\sqrt{3} + 9 - 3 - 6\sqrt{3} - 9 - 6 - 6\sqrt{3} + 8 = -6\sqrt{3}$

グラフの概形は、$x < -2$ で $f(x) < 0$、$-2 < x < 1$ で $f(x) > 0$、$1 < x < 4$ で $f(x) < 0$、$x > 4$ で $f(x) > 0$ となる。

(3) $\int_a^c |f(x)| dx$ の値を求める。

$\int_a^c |f(x)| dx = \int_{-2}^4 |(x+2)(x-1)(x-4)| dx = \int_{-2}^1 (x+2)(x-1)(x-4) dx - \int_1^4 (x+2)(x-1)(x-4) dx$

$\int (x+2)(x-1)(x-4) dx = \int (x^3 - 3x^2 - 6x + 8) dx = \frac{x^4}{4} - x^3 - 3x^2 + 8x + C$

$\int_{-2}^1 f(x) dx = [\frac{x^4}{4} - x^3 - 3x^2 + 8x]_{-2}^1 = (\frac{1}{4} - 1 - 3 + 8) - (4 + 8 - 12 - 16) = \frac{21}{4} + 16 = \frac{85}{4}$

$\int_1^4 f(x) dx = [\frac{x^4}{4} - x^3 - 3x^2 + 8x]_1^4 = (64 - 64 - 48 + 32) - (\frac{1}{4} - 1 - 3 + 8) = -16 - \frac{21}{4} = -\frac{85}{4}$

$\int_{-2}^4 |f(x)| dx = \frac{85}{4} - (-\frac{85}{4}) = \frac{85}{4} + \frac{85}{4} = \frac{170}{4} = \frac{85}{2}$

(4) $\int_a^c \{g_1(x) + g_2(x) + g_3(x)\} dx$ の値を求める。

$g_1(x) = |x-a|(x-b)(x-c)$, $g_2(x) = (x-a)|x-b|(x-c)$, $g_3(x) = (x-a)(x-b)|x-c|$

$\int_a^c \{g_1(x) + g_2(x) + g_3(x)\} dx = \int_{-2}^4 \{|x+2|(x-1)(x-4) + (x+2)|x-1|(x-4) + (x+2)(x-1)|x-4|\} dx$

$-2 < x < 1$ のとき、$|x+2| = x+2$, $|x-1| = -(x-1)$, $|x-4| = -(x-4)$

$1 < x < 4$ のとき、$|x+2| = x+2$, $|x-1| = x-1$, $|x-4| = -(x-4)$

$\int_{-2}^1 \{(x+2)(x-1)(x-4) - (x+2)(x-1)(x-4) + (x+2)(x-1)(x-4)\} dx = \int_{-2}^1 (x+2)(x-1)(x-4) dx = \frac{85}{4}$

$\int_1^4 \{(x+2)(x-1)(-x+4) + (x+2)(x-1)(-x+4) + (x+2)(x-1)(-x+4)\} dx = \int_1^4 -3(x+2)(x-1)(x-4)dx = -3\int_1^4 (x+2)(x-1)(x-4)dx = -3(-\frac{85}{4}) = \frac{255}{4}$

$\int_{-2}^4 \{g_1(x) + g_2(x) + g_3(x)\} dx = \frac{85}{4} + \frac{255}{4} = \frac{340}{4} = 85$

3. 最終的な答え

(1) $a = -2, b = 1, c = 4$

(2) 極大値: $f(1 - \sqrt{3}) = 10 + 6\sqrt{3}$、極小値: $f(1 + \sqrt{3}) = 10 - 6\sqrt{3}$

(3) $\int_a^c |f(x)| dx = \frac{85}{2}$

(4) $\int_a^c \{g_1(x) + g_2(x) + g_3(x)\} dx = 85$