(1) 2つの曲線 $y = x^3 - 2x^2 + x$ と $y = x^2 - 2x + 1$、そして2つの直線 $x = 0$ と $x = 2$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求める。 (2) 曲線 $C: x = \sin(\pi(t^2 + 1)), y = \cos(\pi(t^2 - 1))$ ($0 \le t \le 2$) の長さを求める。

1. 問題の内容

(1) 2つの曲線 $y = x^3 - 2x^2 + x$ と $y = x^2 - 2x + 1$、そして2つの直線 $x = 0$ と $x = 2$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求める。

(2) 曲線 $C: x = \sin(\pi(t^2 + 1)), y = \cos(\pi(t^2 - 1))$ ($0 \le t \le 2$) の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 面積 $S$ を求める。

まず、2つの曲線の交点を求めるために、方程式 $x^3 - 2x^2 + x = x^2 - 2x + 1$ を解く。

$x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0$

$(x - 1)^3 = 0$

$x = 1$

したがって、2つの曲線は $x = 1$ で交わる。積分区間は $0 \le x \le 2$ であり、交点は $x=1$ にある。

したがって、$0 \le x \le 1$ と $1 \le x \le 2$ でどちらの関数が大きいかを調べる必要がある。

$f(x) = x^3 - 2x^2 + x$

$g(x) = x^2 - 2x + 1$

$x=0.5$ のとき、

$f(0.5) = 0.125 - 0.5 + 0.5 = 0.125$

$g(0.5) = 0.25 - 1 + 1 = 0.25$

$g(x) > f(x)$ for $0 \le x < 1$

$x=1.5$ のとき、

$f(1.5) = 3.375 - 4.5 + 1.5 = 0.375$

$g(1.5) = 2.25 - 3 + 1 = 0.25$

$f(x) > g(x)$ for $1 < x \le 2$

したがって、面積 $S$ は以下の積分で求められる。

$S = \int_0^1 (g(x) - f(x)) dx + \int_1^2 (f(x) - g(x)) dx$

$S = \int_0^1 (-x^3 + 3x^2 - 3x + 1) dx + \int_1^2 (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) dx$

$S = [-\frac{x^4}{4} + x^3 - \frac{3x^2}{2} + x]_0^1 + [\frac{x^4}{4} - x^3 + \frac{3x^2}{2} - x]_1^2$

$S = (-\frac{1}{4} + 1 - \frac{3}{2} + 1) + (\frac{16}{4} - 8 + \frac{12}{2} - 2) - (\frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2} - 1)$

$S = \frac{-1 + 4 - 6 + 4}{4} + (4 - 8 + 6 - 2) - \frac{1 - 4 + 6 - 4}{4}$

$S = \frac{1}{4} + 0 - (-\frac{1}{4})$

$S = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

(2) 曲線 $C$ の長さを求める。

$x = \sin(\pi(t^2 + 1)) = \sin(\pi t^2 + \pi) = - \sin(\pi t^2)$

$y = \cos(\pi(t^2 - 1)) = \cos(\pi t^2 - \pi) = - \cos(\pi t^2)$

$\frac{dx}{dt} = - \cos(\pi t^2) \cdot 2 \pi t$

$\frac{dy}{dt} = \sin(\pi t^2) \cdot 2 \pi t$

曲線の長さ $l$ は以下の積分で求められる。

$l = \int_0^2 \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

$l = \int_0^2 \sqrt{(- 2 \pi t \cos(\pi t^2))^2 + (2 \pi t \sin(\pi t^2))^2} dt$

$l = \int_0^2 \sqrt{4 \pi^2 t^2 (\cos^2(\pi t^2) + \sin^2(\pi t^2))} dt$

$l = \int_0^2 \sqrt{4 \pi^2 t^2} dt$

$l = \int_0^2 2 \pi t dt$

$l = [\pi t^2]_0^2 = 4 \pi$

3. 最終的な答え

(1) 面積 $S$ は $\frac{1}{2}$

(2) 曲線 $C$ の長さ $l$ は $4\pi$