次の定積分と不定積分を求める問題です。 (1) $\int_{-2}^{2} (x^2 + 4) dx$ (2) $\int_{-3}^{3} \frac{2x}{x^2+1} dx$ (3) $\int 2x(x^2+1)^{-3} dx$ (4) $\int \frac{2x+1}{x^2+x+1} dx$

1. 問題の内容

次の定積分と不定積分を求める問題です。

(1) $\int_{-2}^{2} (x^2 + 4) dx$

(2) $\int_{-3}^{3} \frac{2x}{x^2+1} dx$

(3) $\int 2x(x^2+1)^{-3} dx$

(4) $\int \frac{2x+1}{x^2+x+1} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{-2}^{2} (x^2 + 4) dx$ を計算します。

$x^2+4$ は偶関数なので、

$\int_{-2}^{2} (x^2 + 4) dx = 2\int_{0}^{2} (x^2 + 4) dx$

$= 2\left[ \frac{x^3}{3} + 4x \right]_{0}^{2} = 2\left( \frac{8}{3} + 8 \right) = 2\left( \frac{8+24}{3} \right) = 2\left( \frac{32}{3} \right) = \frac{64}{3}$

(2) $\int_{-3}^{3} \frac{2x}{x^2+1} dx$ を計算します。

$\frac{2x}{x^2+1}$ は奇関数なので、

$\int_{-3}^{3} \frac{2x}{x^2+1} dx = 0$

(3) $\int 2x(x^2+1)^{-3} dx$ を計算します。

$u = x^2+1$ と置換すると、$du = 2x dx$ なので、

$\int 2x(x^2+1)^{-3} dx = \int u^{-3} du = \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2(x^2+1)^2} + C$

(4) $\int \frac{2x+1}{x^2+x+1} dx$ を計算します。

$u = x^2+x+1$ と置換すると、$du = (2x+1) dx$ なので、

$\int \frac{2x+1}{x^2+x+1} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C = \ln(x^2+x+1) + C$

($x^2+x+1$ は常に正なので絶対値は不要)

3. 最終的な答え

(1) $\frac{64}{3}$

(2) $0$

(3) $-\frac{1}{2(x^2+1)^2} + C$

(4) $\ln(x^2+x+1) + C$