$\int (x^2 + x) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C$

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1. 問題の内容

次の5つの定積分を求める問題です。

問1: $\int_{-1}^2 (x^2 + x) dx$

問2: $\int_1^4 \sqrt{x} dx$

問3: $\int_3^6 \frac{1}{x} dx$

問4: $\int_{-1}^0 e^x dx$

問5: $\int_1^e \frac{x-2}{x^2} dx$

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2. 解き方の手順

**問1: $\int_{-1}^2 (x^2 + x) dx$**

1. 積分を実行します。

$\int (x^2 + x) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C$

2. 定積分を計算します。

$\left[\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}\right]_{-1}^2 = \left(\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2}\right) - \left(\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2}\right)$

$= \left(\frac{8}{3} + 2\right) - \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right) = \frac{8}{3} + 2 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{9}{3} + 2 - \frac{1}{2} = 3 + 2 - \frac{1}{2} = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

**問2: $\int_1^4 \sqrt{x} dx$**

1. $\sqrt{x} = x^{1/2}$ なので、積分を実行します。

$\int x^{1/2} dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$

2. 定積分を計算します。

$\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_1^4 = \frac{2}{3}(4^{3/2}) - \frac{2}{3}(1^{3/2}) = \frac{2}{3}(8) - \frac{2}{3}(1) = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$

**問3: $\int_3^6 \frac{1}{x} dx$**

1. 積分を実行します。

$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$

2. 定積分を計算します。

$[\ln|x|]_3^6 = \ln(6) - \ln(3) = \ln(\frac{6}{3}) = \ln(2)$

**問4: $\int_{-1}^0 e^x dx$**

1. 積分を実行します。

$\int e^x dx = e^x + C$

2. 定積分を計算します。

$[e^x]_{-1}^0 = e^0 - e^{-1} = 1 - \frac{1}{e}$

**問5: $\int_1^e \frac{x-2}{x^2} dx$**

1. 被積分関数を分解します。

$\frac{x-2}{x^2} = \frac{x}{x^2} - \frac{2}{x^2} = \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2} = \frac{1}{x} - 2x^{-2}$

2. 積分を実行します。

$\int (\frac{1}{x} - 2x^{-2}) dx = \ln|x| - 2 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C = \ln|x| + \frac{2}{x} + C$

3. 定積分を計算します。

$\left[\ln|x| + \frac{2}{x}\right]_1^e = (\ln(e) + \frac{2}{e}) - (\ln(1) + \frac{2}{1}) = (1 + \frac{2}{e}) - (0 + 2) = 1 + \frac{2}{e} - 2 = \frac{2}{e} - 1$

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3. 最終的な答え

問1: $\frac{9}{2}$

問2: $\frac{14}{3}$

問3: $\ln 2$

問4: $1 - \frac{1}{e}$

問5: $\frac{2}{e} - 1$