関数 $y = x^2 \tan^{-1} x$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 \tan^{-1} x$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分法則を使用します。積の微分法則とは、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の導関数が $\frac{d}{dx}(u(x)v(x)) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ で与えられるというものです。

今回の問題では、$u(x) = x^2$、 $v(x) = \tan^{-1} x$ とします。

まず、$u(x)$ の導関数を計算します。

$u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

次に、$v(x)$ の導関数を計算します。$\tan^{-1} x$ の導関数は $\frac{1}{1+x^2}$ であることを利用します。

$v'(x) = \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}$

したがって、積の微分法則を用いて、

$\frac{dy}{dx} = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2x \tan^{-1} x + x^2 \cdot \frac{1}{1+x^2}$

$\frac{dy}{dx} = 2x \tan^{-1} x + \frac{x^2}{1+x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 2x \tan^{-1} x + \frac{x^2}{1+x^2}$