与えられた4つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 4x^2 + 2x + 1}{x^5 - 1}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{3x}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x^2)}{x}$ (4) $\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{\pi - x}$

1. 問題の内容

与えられた4つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 4x^2 + 2x + 1}{x^5 - 1}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{3x}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x^2)}{x}$

(4) $\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{\pi - x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 4x^2 + 2x + 1}{x^5 - 1}$

分子を $f(x) = x^3 - 4x^2 + 2x + 1$、分母を $g(x) = x^5 - 1$ とします。$f(1) = 1 - 4 + 2 + 1 = 0$、 $g(1) = 1 - 1 = 0$ なので、ロピタルの定理を使えます。

$f'(x) = 3x^2 - 8x + 2$、 $g'(x) = 5x^4$

よって、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 4x^2 + 2x + 1}{x^5 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{3x^2 - 8x + 2}{5x^4} = \frac{3 - 8 + 2}{5} = \frac{-3}{5}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{3x}$

$f(x) = e^{2x} - 1$、 $g(x) = 3x$ とします。$f(0) = 1 - 1 = 0$、 $g(0) = 0$ なので、ロピタルの定理を使えます。

$f'(x) = 2e^{2x}$、 $g'(x) = 3$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{3} = \frac{2e^0}{3} = \frac{2}{3}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x^2)}{x}$

$f(x) = \log(1 + x^2)$、 $g(x) = x$ とします。$f(0) = \log(1) = 0$、 $g(0) = 0$ なので、ロピタルの定理を使えます。

$f'(x) = \frac{2x}{1 + x^2}$、 $g'(x) = 1$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x^2)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{1 + x^2} = \frac{0}{1} = 0$

(4) $\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{\pi - x}$

$t = \pi - x$ とおくと、$x = \pi - t$ であり、$x \to \pi$ のとき $t \to 0$ となります。

よって、

$\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{\pi - x} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin(\pi - t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$

あるいは、ロピタルの定理を使うこともできます。

$f(x) = \sin x$、 $g(x) = \pi - x$ とします。$f(\pi) = \sin \pi = 0$、 $g(\pi) = 0$ なので、ロピタルの定理を使えます。

$f'(x) = \cos x$、 $g'(x) = -1$

よって、

$\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{\pi - x} = \lim_{x \to \pi} \frac{\cos x}{-1} = \frac{\cos \pi}{-1} = \frac{-1}{-1} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{3}{5}$

(2) $\frac{2}{3}$

(3) $0$

(4) $1$