与えられた関数 $f(x) = (x^4 + x^2)^5 + (x^8 + 1)^4$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = (x^4 + x^2)^5 + (x^8 + 1)^4$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を2つの項に分けます。つまり、

$f(x) = g(x) + h(x)$

ここで、

$g(x) = (x^4 + x^2)^5$

$h(x) = (x^8 + 1)^4$

とします。

導関数の和の公式より、$f'(x) = g'(x) + h'(x)$ です。

まず、$g'(x)$ を計算します。合成関数の微分法（チェーンルール）を用いると、

$g'(x) = 5(x^4 + x^2)^4 \cdot (4x^3 + 2x)$

$g'(x) = 5(x^4 + x^2)^4 (4x^3 + 2x)$

次に、$h'(x)$ を計算します。同様に合成関数の微分法を用いると、

$h'(x) = 4(x^8 + 1)^3 \cdot (8x^7)$

$h'(x) = 32x^7(x^8 + 1)^3$

したがって、$f'(x) = g'(x) + h'(x)$ より、

$f'(x) = 5(x^4 + x^2)^4 (4x^3 + 2x) + 32x^7(x^8 + 1)^3$

3. 最終的な答え

$f'(x) = 5(x^4 + x^2)^4 (4x^3 + 2x) + 32x^7(x^8 + 1)^3$