問題は以下の2つです。 * 関数 $f(x) = 3x^2 - 2x$ に対して、$f(1)$、$f(a)$、$f(a+h)$ を求める。 * 関数 $f(x) = 3x^2 - 2x$ の導関数 $f'(x)$ を定義に基づいて求める。 * 以下の関数を微分する。 * $y = \frac{5}{6}x^{-2} + 2x^{-3}$ * $y = -\frac{2}{5}x^{-\frac{3}{4}}$

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

* 関数 $f(x) = 3x^2 - 2x$ に対して、$f(1)$、$f(a)$、$f(a+h)$ を求める。

* 関数 $f(x) = 3x^2 - 2x$ の導関数 $f'(x)$ を定義に基づいて求める。

* 以下の関数を微分する。

* $y = \frac{5}{6}x^{-2} + 2x^{-3}$

* $y = -\frac{2}{5}x^{-\frac{3}{4}}$

2. 解き方の手順

**問1**

* $f(1)$ を求める: $f(x)$ に $x = 1$ を代入する。

* $f(a)$ を求める: $f(x)$ に $x = a$ を代入する。

* $f(a+h)$ を求める: $f(x)$ に $x = a+h$ を代入する。

**問2**

導関数の定義:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

* $f(x+h)$ を計算する: $f(x) = 3x^2 - 2x$ に $x$ の代わりに $x+h$ を代入する。

* $f(x+h) - f(x)$ を計算する。

* $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ を計算する。

* $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ を計算する。

**微分**

$y = \frac{5}{6}x^{-2} + 2x^{-3}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{6}(-2)x^{-3} + 2(-3)x^{-4} = -\frac{5}{3}x^{-3} - 6x^{-4}$

$y = -\frac{2}{5}x^{-\frac{3}{4}}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{5}(-\frac{3}{4})x^{-\frac{7}{4}} = \frac{3}{10}x^{-\frac{7}{4}}$

3. 最終的な答え

問1:

$f(1) = 3(1)^2 - 2(1) = 3 - 2 = 1$

$f(a) = 3a^2 - 2a$

$f(a+h) = 3(a+h)^2 - 2(a+h) = 3(a^2 + 2ah + h^2) - 2a - 2h = 3a^2 + 6ah + 3h^2 - 2a - 2h$

問2:

$f(x+h) = 3(x+h)^2 - 2(x+h) = 3(x^2 + 2xh + h^2) - 2x - 2h = 3x^2 + 6xh + 3h^2 - 2x - 2h$

$f(x+h) - f(x) = (3x^2 + 6xh + 3h^2 - 2x - 2h) - (3x^2 - 2x) = 6xh + 3h^2 - 2h$

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{6xh + 3h^2 - 2h}{h} = 6x + 3h - 2$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} (6x + 3h - 2) = 6x - 2$

微分:

$y' = -\frac{5}{3}x^{-3} - 6x^{-4}$

$y' = \frac{3}{10}x^{-\frac{7}{4}}$