与えられた積分 $\int \frac{1}{(x-2)(x^2+1)} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{1}{(x-2)(x^2+1)} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{1}{(x-2)(x^2+1)}$ を次のように分解します。

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\frac{1}{(x-2)(x^2+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx+C}{x^2+1}

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両辺に $(x-2)(x^2+1)$ をかけると、

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1 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-2)

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1 = Ax^2+A + Bx^2 -2Bx + Cx -2C

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1 = (A+B)x^2 + (-2B+C)x + (A-2C)

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この式から、以下の連立方程式が得られます。

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\begin{cases}

A+B = 0 \\

-2B+C = 0 \\

A-2C = 1

\end{cases}

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最初の式から $B = -A$ となります。

二番目の式に代入すると、 $2A+C = 0$ となり、$C = -2A$ が得られます。

三番目の式に代入すると、 $A-2(-2A) = 1$ となり、$A+4A = 1$ より $5A=1$ となります。

したがって、$A = \frac{1}{5}$ です。

$B = -A = -\frac{1}{5}$ であり、$C = -2A = -\frac{2}{5}$ です。

よって、

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\frac{1}{(x-2)(x^2+1)} = \frac{1/5}{x-2} + \frac{(-1/5)x+(-2/5)}{x^2+1}

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\frac{1}{(x-2)(x^2+1)} = \frac{1}{5}\left(\frac{1}{x-2} - \frac{x+2}{x^2+1}\right)

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積分を計算します。

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\int \frac{1}{(x-2)(x^2+1)} dx = \frac{1}{5} \int \left(\frac{1}{x-2} - \frac{x+2}{x^2+1}\right) dx

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= \frac{1}{5} \int \frac{1}{x-2} dx - \frac{1}{5} \int \frac{x}{x^2+1} dx - \frac{1}{5} \int \frac{2}{x^2+1} dx

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= \frac{1}{5} \ln|x-2| - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} \ln(x^2+1) - \frac{2}{5} \arctan(x) + C

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= \frac{1}{5} \ln|x-2| - \frac{1}{10} \ln(x^2+1) - \frac{2}{5} \arctan(x) + C

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3. 最終的な答え

$\frac{1}{5} \ln|x-2| - \frac{1}{10} \ln(x^2+1) - \frac{2}{5} \arctan(x) + C$