以下の8個の不定積分を求める問題です。 (1) $\int (2x-1) dx$ (2) $\int (x^2 - 5x + 1) dx$ (3) $\int (2x^3 - 3x^2 + 4x - 5) dx$ (4) $\int (x+1)(2x^2 -1) dx$ (5) $\int \frac{1}{x^{10}} dx$ (6) $\int (5x^{-3} - 4x^{-2} + 3x^{-1} - 2) dx$ (7) $\int \frac{x^3 - 2x^2 + 3x - 4}{x} dx$ (8) $\int (\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}) dx$

はい、承知いたしました。問題の不定積分を求めます。

1. 問題の内容

以下の8個の不定積分を求める問題です。

(1) $\int (2x-1) dx$

(2) $\int (x^2 - 5x + 1) dx$

(3) $\int (2x^3 - 3x^2 + 4x - 5) dx$

(4) $\int (x+1)(2x^2 -1) dx$

(5) $\int \frac{1}{x^{10}} dx$

(6) $\int (5x^{-3} - 4x^{-2} + 3x^{-1} - 2) dx$

(7) $\int \frac{x^3 - 2x^2 + 3x - 4}{x} dx$

(8) $\int (\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}) dx$

2. 解き方の手順

不定積分の基本公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ ($n \neq -1$) と $\int \frac{1}{x} dx = \log |x| + C$ を用いて計算します。

(1)

$\int (2x-1) dx = 2 \int x dx - \int 1 dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C = x^2 - x + C$

(2)

$\int (x^2 - 5x + 1) dx = \int x^2 dx - 5 \int x dx + \int 1 dx = \frac{x^3}{3} - 5 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + x + C$

(3)

$\int (2x^3 - 3x^2 + 4x - 5) dx = 2 \int x^3 dx - 3 \int x^2 dx + 4 \int x dx - 5 \int 1 dx = 2 \cdot \frac{x^4}{4} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} - 5x + C = \frac{x^4}{2} - x^3 + 2x^2 - 5x + C$

(4)

まず展開します。

$\int (x+1)(2x^2 -1) dx = \int (2x^3 + 2x^2 - x - 1) dx = 2 \int x^3 dx + 2 \int x^2 dx - \int x dx - \int 1 dx = 2 \cdot \frac{x^4}{4} + 2 \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - x + C = \frac{x^4}{2} + \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - x + C$

(5)

$\int \frac{1}{x^{10}} dx = \int x^{-10} dx = \frac{x^{-9}}{-9} + C = -\frac{1}{9x^9} + C$

(6)

$\int (5x^{-3} - 4x^{-2} + 3x^{-1} - 2) dx = 5 \int x^{-3} dx - 4 \int x^{-2} dx + 3 \int \frac{1}{x} dx - 2 \int 1 dx = 5 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} - 4 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + 3 \log |x| - 2x + C = -\frac{5}{2x^2} + \frac{4}{x} + 3 \log |x| - 2x + C$

(7)

$\int \frac{x^3 - 2x^2 + 3x - 4}{x} dx = \int (x^2 - 2x + 3 - \frac{4}{x}) dx = \int x^2 dx - 2 \int x dx + 3 \int 1 dx - 4 \int \frac{1}{x} dx = \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x - 4 \log |x| + C = \frac{x^3}{3} - x^2 + 3x - 4 \log |x| + C$

(8)

$\int (\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}) dx = \int (x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}) dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + C$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - x + C$

(2) $\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + x + C$

(3) $\frac{x^4}{2} - x^3 + 2x^2 - 5x + C$

(4) $\frac{x^4}{2} + \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - x + C$

(5) $-\frac{1}{9x^9} + C$

(6) $-\frac{5}{2x^2} + \frac{4}{x} + 3 \log |x| - 2x + C$

(7) $\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x - 4 \log |x| + C$

(8) $\frac{2}{3}x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + C$