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与えられた放物線に対して、指定された点における接線の方程式を求める問題です。1は放物線上の点における接線を求め、2は放物線外の点から引いた接線を求めます。

解析学微分接線放物線導関数
2025/8/3

1. 問題の内容

与えられた放物線に対して、指定された点における接線の方程式を求める問題です。1は放物線上の点における接線を求め、2は放物線外の点から引いた接線を求めます。

2. 解き方の手順

1. (1) $y = -x^2 + 2x + 3$，点 $A(2, 3)$

- y′=−2x+2y' = -2x + 2
- x=2x = 2 のとき、y′=−2(2)+2=−2y' = -2(2) + 2 = -2
- 接線の方程式は、y−3=−2(x−2)y - 3 = -2(x - 2)
- y=−2x+4+3y = -2x + 4 + 3
- y=−2x+7y = -2x + 7

1. (2) $y = -x^2 + 5x + 2$，点 $A(3, 8)$

- y′=−2x+5y' = -2x + 5
- x=3x = 3 のとき、y′=−2(3)+5=−1y' = -2(3) + 5 = -1
- 接線の方程式は、y−8=−1(x−3)y - 8 = -1(x - 3)
- y=−x+3+8y = -x + 3 + 8
- y=−x+11y = -x + 11

1. (3) $y = 2x^2 + 3x + 1$，点 $A(-2, 3)$

- y′=4x+3y' = 4x + 3
- x=−2x = -2 のとき、y′=4(−2)+3=−5y' = 4(-2) + 3 = -5
- 接線の方程式は、y−3=−5(x+2)y - 3 = -5(x + 2)
- y=−5x−10+3y = -5x - 10 + 3
- y=−5x−7y = -5x - 7

1. (4) $y = -2x^2 + 4x - 1$，点 $A(0, -1)$

- y′=−4x+4y' = -4x + 4
- x=0x = 0 のとき、y′=−4(0)+4=4y' = -4(0) + 4 = 4
- 接線の方程式は、y+1=4(x−0)y + 1 = 4(x - 0)
- y=4x−1y = 4x - 1

2. (1) $y = x^2 - 6x + 12$，点 $A(2, -5)$

- 接点を(t,t2−6t+12)(t, t^2 - 6t + 12)とおく
- y′=2x−6y' = 2x - 6
- x=tx = t のとき、y′=2t−6y' = 2t - 6
- 接線の方程式は、y−(t2−6t+12)=(2t−6)(x−t)y - (t^2 - 6t + 12) = (2t - 6)(x - t)
- この直線が点(2,−5)(2, -5)を通るので、−5−(t2−6t+12)=(2t−6)(2−t)-5 - (t^2 - 6t + 12) = (2t - 6)(2 - t)
- −5−t2+6t−12=4t−2t2−12+6t-5 - t^2 + 6t - 12 = 4t - 2t^2 - 12 + 6t
- t2−4t−5=0t^2 - 4t - 5 = 0
- (t−5)(t+1)=0(t - 5)(t + 1) = 0
- t=5,−1t = 5, -1
- t=5t=5 のとき，y′=2(5)−6=4y' = 2(5)-6 = 4。接線の方程式は、y−(25−30+12)=4(x−5)y - (25 - 30 + 12) = 4(x-5)、つまりy−7=4x−20y-7 = 4x-20, y=4x−13y = 4x-13
- t=−1t=-1 のとき、y′=2(−1)−6=−8y' = 2(-1)-6 = -8。接線の方程式は、y−(1+6+12)=−8(x+1)y - (1 + 6 + 12) = -8(x+1)、つまりy−19=−8x−8y-19 = -8x-8, y=−8x+11y = -8x+11

2. (2) $y = x^2 - x + 3$，点 $A(1, -1)$

- 接点を(t,t2−t+3)(t, t^2 - t + 3)とおく
- y′=2x−1y' = 2x - 1
- x=tx = t のとき、y′=2t−1y' = 2t - 1
- 接線の方程式は、y−(t2−t+3)=(2t−1)(x−t)y - (t^2 - t + 3) = (2t - 1)(x - t)
- この直線が点(1,−1)(1, -1)を通るので、−1−(t2−t+3)=(2t−1)(1−t)-1 - (t^2 - t + 3) = (2t - 1)(1 - t)
- −1−t2+t−3=2t−2t2−1+t-1 - t^2 + t - 3 = 2t - 2t^2 - 1 + t
- t2−2t−3=0t^2 - 2t - 3 = 0
- (t−3)(t+1)=0(t - 3)(t + 1) = 0
- t=3,−1t = 3, -1
- t=3t=3 のとき、y′=2(3)−1=5y' = 2(3)-1 = 5。接線の方程式は、y−(9−3+3)=5(x−3)y - (9 - 3 + 3) = 5(x-3)、つまりy−9=5x−15y-9 = 5x-15, y=5x−6y = 5x-6
- t=−1t=-1 のとき、y′=2(−1)−1=−3y' = 2(-1)-1 = -3。接線の方程式は、y−(1+1+3)=−3(x+1)y - (1 + 1 + 3) = -3(x+1)、つまりy−5=−3x−3y-5 = -3x-3, y=−3x+2y = -3x+2

3. 最終的な答え

1. (1) $y = -2x + 7$

1. (2) $y = -x + 11$

1. (3) $y = -5x - 7$

1. (4) $y = 4x - 1$

2. (1) $y = 4x - 13$, $y = -8x + 11$

2. (2) $y = 5x - 6$, $y = -3x + 2$

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