与えられた4つの関数それぞれについて、指定された区間における最大値と最小値を求めます。 (1) $y = x^3 - 3x^2 - 9x$, $-2 \le x \le 4$ (2) $y = x^5 - 5x^4 + 5x^3$, $-1 \le x \le 3$ (3) $y = \sin x + \cos x$, $0 \le x \le \pi$ (4) $y = x^2 - 4 \log x$, $1 \le x \le e$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数それぞれについて、指定された区間における最大値と最小値を求めます。

(1) $y = x^3 - 3x^2 - 9x$, $-2 \le x \le 4$

(2) $y = x^5 - 5x^4 + 5x^3$, $-1 \le x \le 3$

(3) $y = \sin x + \cos x$, $0 \le x \le \pi$

(4) $y = x^2 - 4 \log x$, $1 \le x \le e$

2. 解き方の手順

それぞれの関数について、以下の手順で最大値と最小値を求めます。

(1) 導関数を計算し、極値を与える $x$ の値を求めます。

(2) 極値を与える $x$ の値が指定された区間内に含まれているか確認します。

(3) 区間の端点と、区間内に含まれる極値を与える $x$ の値を関数に代入し、それぞれの値を計算します。

(4) 計算された値の中で最も大きいものが最大値、最も小さいものが最小値となります。

(1) $y = x^3 - 3x^2 - 9x$, $-2 \le x \le 4$

$y' = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1)$

$y' = 0$ となるのは $x = 3, -1$

$x = -2$ のとき $y = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) = -8 - 12 + 18 = -2$

$x = -1$ のとき $y = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) = -1 - 3 + 9 = 5$

$x = 3$ のとき $y = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) = 27 - 27 - 27 = -27$

$x = 4$ のとき $y = (4)^3 - 3(4)^2 - 9(4) = 64 - 48 - 36 = -20$

したがって、最大値は $5$ ($x=-1$ のとき)、最小値は $-27$ ($x=3$ のとき)。

(2) $y = x^5 - 5x^4 + 5x^3$, $-1 \le x \le 3$

$y' = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2 = 5x^2(x^2 - 4x + 3) = 5x^2(x-1)(x-3)$

$y' = 0$ となるのは $x = 0, 1, 3$

$x = -1$ のとき $y = (-1)^5 - 5(-1)^4 + 5(-1)^3 = -1 - 5 - 5 = -11$

$x = 0$ のとき $y = 0$

$x = 1$ のとき $y = 1 - 5 + 5 = 1$

$x = 3$ のとき $y = 3^5 - 5(3^4) + 5(3^3) = 243 - 405 + 135 = -27$

したがって、最大値は $1$ ($x=1$ のとき)、最小値は $-27$ ($x=3$ のとき)。

(3) $y = \sin x + \cos x$, $0 \le x \le \pi$

$y' = \cos x - \sin x$

$y' = 0$ となるのは $\cos x = \sin x$, つまり $x = \frac{\pi}{4}$

$x = 0$ のとき $y = \sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1$

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき $y = \sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

$x = \pi$ のとき $y = \sin \pi + \cos \pi = 0 - 1 = -1$

したがって、最大値は $\sqrt{2}$ ($x=\frac{\pi}{4}$ のとき)、最小値は $-1$ ($x=\pi$ のとき)。

(4) $y = x^2 - 4 \log x$, $1 \le x \le e$

$y' = 2x - \frac{4}{x} = \frac{2x^2 - 4}{x} = \frac{2(x^2 - 2)}{x}$

$y' = 0$ となるのは $x^2 = 2$, つまり $x = \sqrt{2}$ ($x>0$ より)

$x = 1$ のとき $y = 1^2 - 4 \log 1 = 1 - 0 = 1$

$x = \sqrt{2}$ のとき $y = (\sqrt{2})^2 - 4 \log \sqrt{2} = 2 - 4 (\frac{1}{2} \log 2) = 2 - 2 \log 2$

$x = e$ のとき $y = e^2 - 4 \log e = e^2 - 4$

$2 - 2 \log 2 \approx 2 - 2(0.693) = 2 - 1.386 = 0.614$

$e^2 - 4 \approx 7.389 - 4 = 3.389$

したがって、最大値は $e^2 - 4$ ($x=e$ のとき)、最小値は $2 - 2 \log 2$ ($x=\sqrt{2}$ のとき)。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 5, 最小値: -27

(2) 最大値: 1, 最小値: -27

(3) 最大値: $\sqrt{2}$, 最小値: -1

(4) 最大値: $e^2 - 4$, 最小値: $2 - 2 \log 2$