与えられた数列の和 $\frac{2}{1\cdot3} + \frac{2}{3\cdot5} + \frac{2}{5\cdot7} + \dots + \frac{2}{23\cdot25}$ を計算し、その結果を分数で表したときの分子と分母を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $\frac{2}{1\cdot3} + \frac{2}{3\cdot5} + \frac{2}{5\cdot7} + \dots + \frac{2}{23\cdot25}$ を計算し、その結果を分数で表したときの分子と分母を求める問題です。

2. 解き方の手順

この数列の各項は、$\frac{2}{(2n-1)(2n+1)}$ の形で表されます。ここで、$n$は1から12までの整数です。なぜなら、$2n-1=23$のとき、$n=12$となり、最後の項は$\frac{2}{23\cdot25}$ となります。

この分数を部分分数分解します。

$\frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}$

両辺に $(2n-1)(2n+1)$ をかけると、

$2 = A(2n+1) + B(2n-1)$

$n = \frac{1}{2}$ のとき、$2 = 2A$, よって $A=1$

$n = -\frac{1}{2}$ のとき、$2 = -2B$, よって $B=-1$

したがって、

$\frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}$

与えられた数列の和は、

$S = \sum_{n=1}^{12} \frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \sum_{n=1}^{12} \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)$

この和を展開すると、

$S = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{23} - \frac{1}{25}\right)$

これは、隣り合う項が打ち消しあうtelescoping sumです。したがって、

$S = 1 - \frac{1}{25} = \frac{25}{25} - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$

3. 最終的な答え

分子: 24

分母: 25