次の2つの不等式が成り立つことを証明する問題です。 (1) $0 \le x < \frac{\pi}{2}$ のとき、 $\tan x \ge x$ (2) $x > 0$ のとき、$2\sqrt{x} \ge \log x + 2$

1. 問題の内容

次の2つの不等式が成り立つことを証明する問題です。

(1) $0 \le x < \frac{\pi}{2}$ のとき、 $\tan x \ge x$

(2) $x > 0$ のとき、$2\sqrt{x} \ge \log x + 2$

2. 解き方の手順

(1)

関数 $f(x) = \tan x - x$ を定義する。区間 $0 \le x < \frac{\pi}{2}$ において、$f(x) \ge 0$ であることを示す。

まず、$f(0) = \tan 0 - 0 = 0$ である。

次に、$f(x)$ の導関数を計算する。

$f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - 1 = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x$

区間 $0 \le x < \frac{\pi}{2}$ において、$\tan^2 x \ge 0$ であるから、$f'(x) \ge 0$ である。

したがって、$f(x)$ は区間 $0 \le x < \frac{\pi}{2}$ において単調増加関数である。

$f(0) = 0$ であり、$f'(x) \ge 0$ であるから、$f(x) \ge 0$ である。

よって、$0 \le x < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\tan x \ge x$ が成り立つ。

(2)

関数 $g(x) = 2\sqrt{x} - (\log x + 2)$ を定義する。区間 $x > 0$ において、$g(x) \ge 0$ であることを示す。

$g(x)$ の導関数を計算する。

$g'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{x} - 1}{x}$

$g'(x) = 0$ となるのは、$x = 1$ のときである。

$0 < x < 1$ のとき、$g'(x) < 0$ であり、$x > 1$ のとき、$g'(x) > 0$ である。

したがって、$g(x)$ は $x = 1$ で最小値をとる。

$g(1) = 2\sqrt{1} - (\log 1 + 2) = 2 - (0 + 2) = 0$

$g(x)$ は $x = 1$ で最小値 $0$ をとるので、$x > 0$ において、$g(x) \ge 0$ である。

よって、$x > 0$ のとき、$2\sqrt{x} \ge \log x + 2$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $0 \le x < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\tan x \ge x$

(2) $x > 0$ のとき、$2\sqrt{x} \ge \log x + 2$