問題は微分積分に関する計算問題です。 1. 1: 極限を求める問題が2問。

はい、承知しました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は微分積分に関する計算問題です。

1. 1: 極限を求める問題が2問。

2. 2: 無限級数の和を求める問題が1問。

3. 3: 関数の微分を求める問題が4問。

2. 解き方の手順

1. 1 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 + 3x^2 - 4}{x^3 - 1}$

分子も分母も $x = 1$ を代入すると $0$ になるので、因数定理を使って因数分解します。

分子: $x^3 + 3x^2 - 4 = (x - 1)(x^2 + 4x + 4) = (x - 1)(x + 2)^2$

分母: $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

よって、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 + 3x^2 - 4}{x^3 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 2)^2}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{(x + 2)^2}{x^2 + x + 1} = \frac{(1 + 2)^2}{1^2 + 1 + 1} = \frac{9}{3} = 3$

1. 1 (2) $\lim_{x \to -3} \frac{x + 3}{\sqrt{x + 7} - 2}$

$x = -3$ を代入すると分母が $0$ になるため、分子の有理化を行います。

$\lim_{x \to -3} \frac{x + 3}{\sqrt{x + 7} - 2} = \lim_{x \to -3} \frac{(x + 3)(\sqrt{x + 7} + 2)}{(\sqrt{x + 7} - 2)(\sqrt{x + 7} + 2)} = \lim_{x \to -3} \frac{(x + 3)(\sqrt{x + 7} + 2)}{x + 7 - 4} = \lim_{x \to -3} \frac{(x + 3)(\sqrt{x + 7} + 2)}{x + 3} = \lim_{x \to -3} (\sqrt{x + 7} + 2) = \sqrt{-3 + 7} + 2 = \sqrt{4} + 2 = 2 + 2 = 4$

2. 2 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n + 1)(n + 2)}$

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(n + 1)(n + 2)} = \frac{A}{n + 1} + \frac{B}{n + 2}$

$1 = A(n + 2) + B(n + 1)$

$n = -1$ のとき $1 = A(-1 + 2) \Rightarrow A = 1$

$n = -2$ のとき $1 = B(-2 + 1) \Rightarrow B = -1$

よって、$\frac{1}{(n + 1)(n + 2)} = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n + 1)(n + 2)} = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})$

$= (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + ...$

$= \frac{1}{2}$

3. 3 (1) $y = (x^2 + 2)\sqrt{2x + 1}$

積の微分法と合成関数の微分法を使います。

$y' = (2x)\sqrt{2x + 1} + (x^2 + 2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x + 1}} \cdot 2 = 2x\sqrt{2x + 1} + \frac{x^2 + 2}{\sqrt{2x + 1}} = \frac{2x(2x + 1) + x^2 + 2}{\sqrt{2x + 1}} = \frac{4x^2 + 2x + x^2 + 2}{\sqrt{2x + 1}} = \frac{5x^2 + 2x + 2}{\sqrt{2x + 1}}$

4. 3 (2) $y = \frac{x + 3}{x^2 + x + 1}$

商の微分法を使います。

$y' = \frac{1 \cdot (x^2 + x + 1) - (x + 3)(2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2} = \frac{x^2 + x + 1 - (2x^2 + x + 6x + 3)}{(x^2 + x + 1)^2} = \frac{x^2 + x + 1 - 2x^2 - 7x - 3}{(x^2 + x + 1)^2} = \frac{-x^2 - 6x - 2}{(x^2 + x + 1)^2} = - \frac{x^2 + 6x + 2}{(x^2 + x + 1)^2}$

5. 3 (3) $y = (\sqrt{x} + 3x + 3)^4$

合成関数の微分法を使います。

$y' = 4(\sqrt{x} + 3x + 3)^3 \cdot (\frac{1}{2\sqrt{x}} + 3) = \frac{2}{\sqrt{x}}(\sqrt{x} + 3x + 3)^3(1 + 6\sqrt{x})$

6. 3 (4) $y = (x^2 + 3x)e^{3x}$

積の微分法と合成関数の微分法を使います。

$y' = (2x + 3)e^{3x} + (x^2 + 3x) \cdot 3e^{3x} = (2x + 3 + 3x^2 + 9x)e^{3x} = (3x^2 + 11x + 3)e^{3x}$

3. 最終的な答え

ア: 3

イ: 4

ウ: 1/2

エ: 5

オ: 2

カ: 2

キ: 6

ク: 2

ケ: 2

サ: 6

シ: 1

ス: 3

セソ: 11

タ: 3