広義積分 $\int_{0}^{\infty} xe^{-2x}(1 + \cos x) dx$ の収束・発散を調べる問題です。

1. 問題の内容

広義積分 $\int_{0}^{\infty} xe^{-2x}(1 + \cos x) dx$ の収束・発散を調べる問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分を２つに分けます。

$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x}(1 + \cos x) dx = \int_{0}^{\infty} xe^{-2x} dx + \int_{0}^{\infty} xe^{-2x} \cos x dx$

それぞれの積分について収束・発散を調べます。

(1) $\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} dx$ について

部分積分を用いて計算します。

$u=x, dv = e^{-2x}dx$ とすると、$du=dx, v=-\frac{1}{2}e^{-2x}$ となります。

$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} dx = \left[-\frac{1}{2}xe^{-2x}\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} -\frac{1}{2}e^{-2x} dx$

$= \lim_{x \to \infty} \left(-\frac{1}{2}xe^{-2x}\right) - \left(-\frac{1}{2}(0)e^{-2(0)}\right) + \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-2x} dx$

$= 0 + \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]_{0}^{\infty}$

$= \frac{1}{2} \left(\lim_{x \to \infty} \left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right) - \left(-\frac{1}{2}e^{-2(0)}\right)\right)$

$= \frac{1}{2} \left(0 + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}$

したがって、$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} dx$ は $\frac{1}{4}$ に収束します。

(2) $\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} \cos x dx$ について

これも部分積分を２回繰り返して計算します。

$u=x, dv=e^{-2x}\cos x dx$ とすると、$du=dx, v=\int e^{-2x}\cos x dx$ となります。

$\int e^{-2x}\cos x dx$ を計算するために、再度部分積分を行います。

$u=\cos x, dv=e^{-2x}dx$ とすると、$du=-\sin x dx, v=-\frac{1}{2}e^{-2x}$ となります。

$\int e^{-2x}\cos x dx = -\frac{1}{2}e^{-2x}\cos x - \int -\frac{1}{2}e^{-2x}(-\sin x) dx$

$= -\frac{1}{2}e^{-2x}\cos x - \frac{1}{2} \int e^{-2x}\sin x dx$

さらに部分積分を行います。

$u=\sin x, dv=e^{-2x}dx$ とすると、$du=\cos x dx, v=-\frac{1}{2}e^{-2x}$ となります。

$\int e^{-2x}\sin x dx = -\frac{1}{2}e^{-2x}\sin x - \int -\frac{1}{2}e^{-2x}\cos x dx = -\frac{1}{2}e^{-2x}\sin x + \frac{1}{2} \int e^{-2x}\cos x dx$

したがって、

$\int e^{-2x}\cos x dx = -\frac{1}{2}e^{-2x}\cos x - \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\sin x + \frac{1}{2} \int e^{-2x}\cos x dx\right)$

$\int e^{-2x}\cos x dx = -\frac{1}{2}e^{-2x}\cos x + \frac{1}{4}e^{-2x}\sin x - \frac{1}{4} \int e^{-2x}\cos x dx$

$\frac{5}{4}\int e^{-2x}\cos x dx = -\frac{1}{2}e^{-2x}\cos x + \frac{1}{4}e^{-2x}\sin x$

$\int e^{-2x}\cos x dx = \frac{4}{5}\left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\cos x + \frac{1}{4}e^{-2x}\sin x\right) = -\frac{2}{5}e^{-2x}\cos x + \frac{1}{5}e^{-2x}\sin x$

よって、$v = -\frac{2}{5}e^{-2x}\cos x + \frac{1}{5}e^{-2x}\sin x$

$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} \cos x dx = \left[x\left(-\frac{2}{5}e^{-2x}\cos x + \frac{1}{5}e^{-2x}\sin x\right)\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} \left(-\frac{2}{5}e^{-2x}\cos x + \frac{1}{5}e^{-2x}\sin x\right) dx$

$= \left[x\left(-\frac{2}{5}e^{-2x}\cos x + \frac{1}{5}e^{-2x}\sin x\right)\right]_{0}^{\infty} + \frac{2}{5} \int_{0}^{\infty}e^{-2x}\cos x dx - \frac{1}{5} \int_{0}^{\infty}e^{-2x}\sin x dx$

$\lim_{x \to \infty}x\left(-\frac{2}{5}e^{-2x}\cos x + \frac{1}{5}e^{-2x}\sin x\right) = 0$, また$0\left(-\frac{2}{5}e^{-2(0)}\cos (0) + \frac{1}{5}e^{-2(0)}\sin (0)\right)=0$ であるから、第1項は0。

$\int_{0}^{\infty}e^{-2x}\cos x dx = \left[-\frac{2}{5}e^{-2x}\cos x + \frac{1}{5}e^{-2x}\sin x\right]_0^\infty = \frac{2}{5}$

$\int_{0}^{\infty}e^{-2x}\sin x dx = \left[\frac{1}{5}e^{-2x}(-\cos x) - \frac{2}{5}e^{-2x}\sin x\right]_0^\infty = \frac{1}{5}$

$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} \cos x dx = \frac{2}{5}(\frac{2}{5}) - \frac{1}{5}(\frac{1}{5}) = \frac{4}{25} - \frac{1}{25} = \frac{3}{25}$

したがって、$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} \cos x dx$ は $\frac{3}{25}$ に収束します。

(1) と (2) より、 $\int_{0}^{\infty} xe^{-2x}(1 + \cos x) dx$ は $\frac{1}{4} + \frac{3}{25} = \frac{25+12}{100} = \frac{37}{100}$ に収束します。

3. 最終的な答え

収束する。