$\frac{1}{\sqrt{3}}\sin{\theta} - \cos{\theta}$ の最小値と、そのときの $\theta$ の値を求める。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ とする。

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sqrt{3}}\sin{\theta} - \cos{\theta}$ の最小値と、そのときの $\theta$ の値を求める。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ とする。

2. 解き方の手順

与えられた式を変形し、三角関数の合成を利用する。

まず、$\frac{1}{\sqrt{3}}\sin{\theta} - \cos{\theta}$ を $R\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する。ここで、$R$ は合成後の振幅、$\alpha$ は位相を表す。

$R\sin(\theta + \alpha) = R(\sin{\theta}\cos{\alpha} + \cos{\theta}\sin{\alpha}) = (R\cos{\alpha})\sin{\theta} + (R\sin{\alpha})\cos{\theta}$

係数を比較して、

$R\cos{\alpha} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$R\sin{\alpha} = -1$

両辺をそれぞれ2乗して足し合わせると、

$R^2(\cos^2{\alpha} + \sin^2{\alpha}) = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + (-1)^2 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$

$R^2 = \frac{4}{3}$

$R = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

次に、$\alpha$ を求める。

$\cos{\alpha} = \frac{1}{R\sqrt{3}} = \frac{1}{\frac{2\sqrt{3}}{3}\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

$\sin{\alpha} = \frac{-1}{R} = \frac{-1}{\frac{2\sqrt{3}}{3}} = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos{\alpha} = \frac{1}{2}$ かつ $\sin{\alpha} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\alpha$ は、$\alpha = -\frac{\pi}{3}$ である。

したがって、

$\frac{1}{\sqrt{3}}\sin{\theta} - \cos{\theta} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$

この式の最小値は、$\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = -1$ のときに得られる。

$\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = -1$

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2}$

$\theta = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{9\pi + 2\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$

最小値は $\frac{2\sqrt{3}}{3} \times (-1) = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

最小値: $-\frac{2\sqrt{3}}{3}$, $\theta = \frac{11\pi}{6}$

選択肢１が最も近い。