与えられた定積分の値を計算します。問題は以下の通りです。 $\int_0^\pi e^{\sqrt{2}\cos x} \sin x \, dx - \int_\pi^{2\pi} e^{\sqrt{2}\cos x} \sin x \, dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分の値を計算します。問題は以下の通りです。

$\int_0^\pi e^{\sqrt{2}\cos x} \sin x \, dx - \int_\pi^{2\pi} e^{\sqrt{2}\cos x} \sin x \, dx$

2. 解き方の手順

まず、不定積分を求めます。

$u = \sqrt{2} \cos x$ と置換すると、$du = -\sqrt{2} \sin x \, dx$ となります。

したがって、$\sin x \, dx = -\frac{1}{\sqrt{2}} du$ です。

すると、積分は次のようになります。

$\int e^{\sqrt{2}\cos x} \sin x \, dx = \int e^u \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) du = -\frac{1}{\sqrt{2}} \int e^u \, du = -\frac{1}{\sqrt{2}} e^u + C = -\frac{1}{\sqrt{2}} e^{\sqrt{2}\cos x} + C$

次に、定積分の計算を行います。

$\int_0^\pi e^{\sqrt{2}\cos x} \sin x \, dx = \left[-\frac{1}{\sqrt{2}} e^{\sqrt{2}\cos x}\right]_0^\pi = -\frac{1}{\sqrt{2}} e^{\sqrt{2}\cos \pi} - \left(-\frac{1}{\sqrt{2}} e^{\sqrt{2}\cos 0}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} e^{-\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} e^{\sqrt{2}}$

同様に、

$\int_\pi^{2\pi} e^{\sqrt{2}\cos x} \sin x \, dx = \left[-\frac{1}{\sqrt{2}} e^{\sqrt{2}\cos x}\right]_\pi^{2\pi} = -\frac{1}{\sqrt{2}} e^{\sqrt{2}\cos 2\pi} - \left(-\frac{1}{\sqrt{2}} e^{\sqrt{2}\cos \pi}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} e^{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-\sqrt{2}}$

よって、与えられた積分は次のようになります。

$\int_0^\pi e^{\sqrt{2}\cos x} \sin x \, dx - \int_\pi^{2\pi} e^{\sqrt{2}\cos x} \sin x \, dx = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}} e^{-\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} e^{\sqrt{2}}\right) - \left(-\frac{1}{\sqrt{2}} e^{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-\sqrt{2}}\right)$

$= -\frac{1}{\sqrt{2}} e^{-\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} e^{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} e^{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} e^{\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}} e^{-\sqrt{2}} = \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} - \sqrt{2} e^{-\sqrt{2}} = \sqrt{2}(e^{\sqrt{2}} - e^{-\sqrt{2}})$

$= \sqrt{2} \cdot 2 \sinh(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}\sinh(\sqrt{2})$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2}(sinh(\sqrt{2}))$

$=2\sqrt{2}(e^{\sqrt{2}}-e^{-\sqrt{2}})/2$

$=\sqrt{2}(e^{\sqrt{2}}-e^{-\sqrt{2}})$

$\sqrt{2}e^{\sqrt{2}}-\sqrt{2}e^{-\sqrt{2}}$