以下の5つの不定積分を計算します。 (1) $\int \frac{1}{x^2} dx$ (2) $\int x \sqrt{x} dx$ (3) $\int x \sin x dx$ (4) $\int \cos(5x-5) dx$ (5) $\int x e^{x^2} dx$

1. 問題の内容

以下の5つの不定積分を計算します。

(1) $\int \frac{1}{x^2} dx$

(2) $\int x \sqrt{x} dx$

(3) $\int x \sin x dx$

(4) $\int \cos(5x-5) dx$

(5) $\int x e^{x^2} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx$

べき関数の積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし $n \neq -1$) を用います。

$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$

(2) $\int x \sqrt{x} dx = \int x \cdot x^{\frac{1}{2}} dx = \int x^{\frac{3}{2}} dx$

べき関数の積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし $n \neq -1$) を用います。

$\int x^{\frac{3}{2}} dx = \frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5} x^2 \sqrt{x} + C$

(3) $\int x \sin x dx$

部分積分 $\int u dv = uv - \int v du$ を用います。$u=x$, $dv=\sin x dx$ とすると、$du=dx$, $v = -\cos x$ です。

$\int x \sin x dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x) dx = -x \cos x + \int \cos x dx = -x \cos x + \sin x + C$

(4) $\int \cos(5x-5) dx$

置換積分を用います。$u = 5x-5$ とすると、$du = 5 dx$, $dx = \frac{1}{5}du$

$\int \cos(5x-5) dx = \int \cos u \cdot \frac{1}{5} du = \frac{1}{5} \int \cos u du = \frac{1}{5} \sin u + C = \frac{1}{5} \sin (5x-5) + C$

(5) $\int x e^{x^2} dx$

置換積分を用います。$u = x^2$ とすると、$du = 2x dx$, $x dx = \frac{1}{2}du$

$\int x e^{x^2} dx = \int e^u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{1}{x} + C$

(2) $\int x \sqrt{x} dx = \frac{2}{5} x^2 \sqrt{x} + C$

(3) $\int x \sin x dx = -x \cos x + \sin x + C$

(4) $\int \cos(5x-5) dx = \frac{1}{5} \sin (5x-5) + C$

(5) $\int x e^{x^2} dx = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$