$y = \sin^3(3x+1)$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

問題に番号が振られているようなので、指定された問題のみを解きます。

**2.(10) 微分**

1. 問題の内容

$y = \sin^3(3x+1)$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法を使います。$u = 3x+1$、$v = \sin u$、$y = v^3$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ となります。

それぞれの導関数を計算します。

$\frac{dy}{dv} = 3v^2 = 3\sin^2(3x+1)$

$\frac{dv}{du} = \cos u = \cos(3x+1)$

$\frac{du}{dx} = 3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 3 \sin^2(3x+1) \cdot \cos(3x+1) \cdot 3$

$= 9\sin^2(3x+1) \cos(3x+1)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 9\sin^2(3x+1) \cos(3x+1)$

**2.(12) 微分**

1. 問題の内容

$y=\frac{1-3\sin x}{2\cos x}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

2. 解き方の手順

商の微分法を使います。

$(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

$u = 1 - 3\sin x$, $v = 2\cos x$ とおくと、

$u' = -3\cos x$

$v' = -2\sin x$

$\frac{dy}{dx}=\frac{(-3\cos x)(2\cos x)-(1-3\sin x)(-2\sin x)}{(2\cos x)^2}$

$=\frac{-6\cos^2 x+2\sin x-6\sin^2 x}{4\cos^2 x}$

$=\frac{-6(\cos^2 x+\sin^2 x)+2\sin x}{4\cos^2 x}$

$=\frac{-6+2\sin x}{4\cos^2 x}$

$=\frac{-3+\sin x}{2\cos^2 x}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-3+\sin x}{2\cos^2 x}$

**3.(5) 不定積分**

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{x\log x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

置換積分を行います。$u = \log x$ とおくと、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$ より $dx = x du$ となります。

$\int \frac{1}{x\log x} dx = \int \frac{1}{xu} x du = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log |\log x| + C$

3. 最終的な答え

$\log |\log x| + C$ (Cは積分定数)

**3.(7) 不定積分**

1. 問題の内容

$\int x \sin x dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を行います。$u = x$, $dv = \sin x dx$ とおくと、$du = dx$, $v = -\cos x$ となります。

$\int u dv = uv - \int v du$ より、

$\int x \sin x dx = -x\cos x - \int (-\cos x) dx = -x\cos x + \int \cos x dx = -x\cos x + \sin x + C$

3. 最終的な答え

$-x\cos x + \sin x + C$ (Cは積分定数)

**3.(8) 不定積分**

1. 問題の内容

$\int \cos(5x-5) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

置換積分を行います。$u = 5x-5$ とおくと、$\frac{du}{dx} = 5$ より $dx = \frac{1}{5}du$ となります。

$\int \cos(5x-5) dx = \int \cos u \cdot \frac{1}{5} du = \frac{1}{5} \int \cos u du = \frac{1}{5} \sin u + C = \frac{1}{5} \sin(5x-5) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{5} \sin(5x-5) + C$ (Cは積分定数)

**4.(5) 定積分**

1. 問題の内容

$\int_{\pi/2}^{\pi} \sin^2 x \cos x dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

置換積分を行います。$u = \sin x$ とおくと、$\frac{du}{dx} = \cos x$ より $dx = \frac{du}{\cos x}$ となります。また、積分区間も変わります。

$x = \pi/2$ のとき $u = \sin(\pi/2) = 1$

$x = \pi$ のとき $u = \sin(\pi) = 0$

したがって、

$\int_{\pi/2}^{\pi} \sin^2 x \cos x dx = \int_1^0 u^2 \cos x \frac{du}{\cos x} = \int_1^0 u^2 du = [\frac{1}{3}u^3]_1^0 = \frac{1}{3}(0^3 - 1^3) = -\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{3}$