(5) 定積分 $\int_{\pi/2}^{\pi} \sin^2{x} \cos{x} \, dx$ を計算します。 (6) 定積分 $\int_{1}^{e} \frac{\log{x}}{x} \, dx$ を計算します。

はい、承知いたしました。指定された形式で、問題の(5)と(6)を解いていきます。

1. 問題の内容

(5) 定積分 $\int_{\pi/2}^{\pi} \sin^2{x} \cos{x} \, dx$ を計算します。

(6) 定積分 $\int_{1}^{e} \frac{\log{x}}{x} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

(5)

$\sin{x} = t$ と置換します。すると、$\cos{x} \, dx = dt$ となります。

積分範囲も変わります。

$x = \pi/2$ のとき $t = \sin(\pi/2) = 1$

$x = \pi$ のとき $t = \sin(\pi) = 0$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{1}^{0} t^2 \, dt = - \int_{0}^{1} t^2 \, dt$

$= - \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{1} = - \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = -\frac{1}{3}$

(6)

$\log{x} = t$ と置換します。すると、$\frac{1}{x} \, dx = dt$ となります。

積分範囲も変わります。

$x = 1$ のとき $t = \log{1} = 0$

$x = e$ のとき $t = \log{e} = 1$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} t \, dt$

$= \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(5) $-\frac{1}{3}$

(6) $\frac{1}{2}$