問題は二つあります。 (1) 次の三角関数の値を求める問題です。 (1) $\sin(\frac{5\pi}{6})$ (2) $\cos(-\frac{4\pi}{3})$ (3) $\tan(\frac{7\pi}{3})$ (2) 次の関数を微分する問題です。 (1) $y = x^3$ (2) $y = 3x^5 + 4x$ (3) $y = \cos x$ (4) $y = 2\sqrt{x}$ (5) $y = \log x + e^x$ (6) $y = x \tan x$ (7) $y = (x^3 + 1)^5$ (8) $y = \cos x^2$ (9) $y = xe^{2x+3}$

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は二つあります。

(1) 次の三角関数の値を求める問題です。

(1) $\sin(\frac{5\pi}{6})$

(2) $\cos(-\frac{4\pi}{3})$

(3) $\tan(\frac{7\pi}{3})$

(2) 次の関数を微分する問題です。

(1) $y = x^3$

(2) $y = 3x^5 + 4x$

(3) $y = \cos x$

(4) $y = 2\sqrt{x}$

(5) $y = \log x + e^x$

(6) $y = x \tan x$

(7) $y = (x^3 + 1)^5$

(8) $y = \cos x^2$

(9) $y = xe^{2x+3}$

2. 解き方の手順

(1) 三角関数の値を求める問題

(1) $\sin(\frac{5\pi}{6})$: $\frac{5\pi}{6}$は第2象限の角で、基準角は$\frac{\pi}{6}$です。したがって、$\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

(2) $\cos(-\frac{4\pi}{3})$: $-\frac{4\pi}{3}$は第2象限の角で、基準角は$\frac{\pi}{3}$です。したがって、$\cos(-\frac{4\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

(3) $\tan(\frac{7\pi}{3})$: $\frac{7\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$なので、$\tan(\frac{7\pi}{3}) = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$

(2) 微分の問題

(1) $y = x^3$: $y' = 3x^2$

(2) $y = 3x^5 + 4x$: $y' = 15x^4 + 4$

(3) $y = \cos x$: $y' = -\sin x$

(4) $y = 2\sqrt{x} = 2x^{\frac{1}{2}}$: $y' = 2 \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

(5) $y = \log x + e^x$: $y' = \frac{1}{x} + e^x$

(6) $y = x \tan x$: $y' = \tan x + x \sec^2 x$

(7) $y = (x^3 + 1)^5$: $y' = 5(x^3 + 1)^4 \cdot 3x^2 = 15x^2(x^3 + 1)^4$

(8) $y = \cos x^2$: $y' = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)$

(9) $y = xe^{2x+3}$: $y' = e^{2x+3} + x e^{2x+3} \cdot 2 = e^{2x+3}(1 + 2x)$

3. 最終的な答え

(1) 三角関数の値

(1) $\sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

(2) $\cos(-\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

(3) $\tan(\frac{7\pi}{3}) = \sqrt{3}$

(2) 微分

(1) $y' = 3x^2$

(2) $y' = 15x^4 + 4$

(3) $y' = -\sin x$

(4) $y' = \frac{1}{\sqrt{x}}$

(5) $y' = \frac{1}{x} + e^x$

(6) $y' = \tan x + x \sec^2 x$

(7) $y' = 15x^2(x^3 + 1)^4$

(8) $y' = -2x\sin(x^2)$

(9) $y' = e^{2x+3}(1 + 2x)$