与えられた3つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{-1}^{2} 2x \, dx$ (2) $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$ (3) $\int_{-1}^{2} 3 \, dx$

1. 問題の内容

与えられた3つの定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{-1}^{2} 2x \, dx$

(2) $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$

(3) $\int_{-1}^{2} 3 \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{-1}^{2} 2x \, dx$ の計算

まず、$2x$ の不定積分を求めます。

$\int 2x \, dx = x^2 + C$ ($C$ は積分定数)

定積分の定義に従い、積分区間の上限と下限を代入して差を計算します。

$\int_{-1}^{2} 2x \, dx = [x^2]_{-1}^{2} = (2^2) - ((-1)^2) = 4 - 1 = 3$

(2) $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$ の計算

$\sin x$ の不定積分を求めます。

$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$

定積分の定義に従い、積分区間の上限と下限を代入して差を計算します。

$\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = [-\cos x]_{0}^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos 0) = (-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2$

(3) $\int_{-1}^{2} 3 \, dx$ の計算

$3$ の不定積分を求めます。

$\int 3 \, dx = 3x + C$

定積分の定義に従い、積分区間の上限と下限を代入して差を計算します。

$\int_{-1}^{2} 3 \, dx = [3x]_{-1}^{2} = (3 \cdot 2) - (3 \cdot (-1)) = 6 - (-3) = 6 + 3 = 9$

3. 最終的な答え

(1) $\int_{-1}^{2} 2x \, dx = 3$

(2) $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = 2$

(3) $\int_{-1}^{2} 3 \, dx = 9$