以下の3つの不定積分を計算します。 (1) $\int (3x^2 + x) dx$ (2) $\int \sin x dx$ (3) $\int e^x dx$

1. 問題の内容

以下の3つの不定積分を計算します。

(1) $\int (3x^2 + x) dx$

(2) $\int \sin x dx$

(3) $\int e^x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (3x^2 + x) dx$ について

積分を分解し、それぞれの項を積分します。

$\int 3x^2 dx + \int x dx = 3 \int x^2 dx + \int x dx$

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (Cは積分定数) の公式を利用します。

$3 \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C_1 = x^3 + C_1$

$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_2$

よって、$\int (3x^2 + x) dx = x^3 + \frac{x^2}{2} + C$ (Cは積分定数)

(2) $\int \sin x dx$ について

$\frac{d}{dx} (-\cos x) = \sin x$ であることから、

$\int \sin x dx = -\cos x + C$ (Cは積分定数)

(3) $\int e^x dx$ について

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$ であることから、

$\int e^x dx = e^x + C$ (Cは積分定数)

3. 最終的な答え

(1) $\int (3x^2 + x) dx = x^3 + \frac{x^2}{2} + C$

(2) $\int \sin x dx = -\cos x + C$

(3) $\int e^x dx = e^x + C$

(Cは積分定数)