$\int_1^e \frac{\log x}{x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int_1^e \frac{\log x}{x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

置換積分を行います。

$u = \log x$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

積分の範囲も変更する必要があります。

$x=1$ のとき、$u = \log 1 = 0$

$x=e$ のとき、$u = \log e = 1$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_0^1 u \, du$

これは簡単に計算できます。

$\int_0^1 u \, du = \left[ \frac{1}{2} u^2 \right]_0^1 = \frac{1}{2} (1^2 - 0^2) = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$